Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки

Наближеним числом a називається число, яке незначно відрізняється від точного A та яке замінює останнє в обчисленнях. Під помилкою чи похибкою Da наближеного числа a загалом розуміють різницю між відповідним точним числом та даним наближеним числом: Da = A – a Якщо A > a, то Da > 0, якщо A < a, то Da < 0. У багатьох випадках знак помилки невідомий, тому вводиться поняття абсолютної похибки та граничної абсолютної похибки. Абсолютною похибкою D наближеного числа a називається абсолютна величина різниці між відповідним точним числом A та числом a: D = |A - a|. У більшості випадків точне значення A невідоме, абсолютну похибку практично знайти неможливо, тому вводиться поняття граничної абсолютної похибки. Граничною абсолютною похибкою Da наближеного числа називається число, не менше абсолютної похибки цього числа. Таким чином, якщо Da - гранична абсолютна похибка наближеного числа a, яке замінює точне A, то D = |A - a| £ Da. Звідси випливає, що точне число A міститься в межах a - Da £ A £ a + Da. У такому випадку для скорочення користуються записом A = a ± Da. Для позначення точності вимірювань деякого числа істотною є абсолютна похибка, яка приходиться на одиницю абсолютної величини цього числа, що має назву відносної похибки. Відносною похибкою d наближеного числа a називається відношення абсолютної похибки D цього числа до модуля відповідного точного числа A:

Звідси D = d|A|. Граничною відносною похибкою da наближеного числа називається будь-яке число, не менше ніж відносна похибка цього числа: d ≤ da, тобто . Значущою цифрою наближеного числа а називається будь-яка цифра в його десятковому зображенні, відмінна від нуля, та нуль, якщо він міститься між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду. Решта нулів, що входять у склад наближеного числа та служать тільки для позначення його десяткових розрядів, не зараховуються до значущих цифр. Наприклад, у числах 0,00320010 та 25000 підкреслені нулі не є значущими цифрами. Говорять, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, який виражається n- значущою цифрою, рахуючи зліва направо. Таким чином, якщо то, за визначенням, перші n-цифр am, am-1, … am-n+1 цього числа є вірними.