Обратная матрица. Матрицы– это прямоугольные таблицы элементов (чисел, функций) из m строк и n строк.

Матрицы. Определение, умножение матриц на число и сложение их, умножение матриц, ранг матрицы и его нахождение путем элементарных преобразований, вычисление обратной матрицы по формулам и методом исключения.

Матрицы – это прямоугольные таблицы элементов (чисел, функций) из m строк и n строк.

m, n – порядки матрицы, они определяют размерность матрицы

Обозначение:

Если m = n, то матрица называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали матрицы (главная: i = j; побочная: i = n - j + 1).

[Равенство двух матриц] A = B, если

1) dim A = dim B

2)

Основные операции над матрицами:

1. Пусть dim A = dim B (необходимое условие), тогда суммой матриц А и В называется новая матрица С_m´n: с_ij = a_ij + b_ij . (1)

Обозначение: Операция получения суммы называется сложением.

Свойства операции сложения:

1° А+В=В+А (коммутативность)

2° (А+В)+С = А+(В+С) (ассоциативность)

Док-во: из определения.

2. Произведением матрицы А на число l R называется матрица С: c_ij = l a_ij (2)

Обозначение: (по определению, доказывать не надо)

Свойства:

1° (lm)А = l(mА) (ассоциативность)

2° l(А+В) = lА+lВ (дистрибутивность операции умножения относительно сложения матриц)

3° (l+m)А = lА+mА (дистрибутивность операции умножения относительно сложения чисел)

Док-во из определения, расписываются левые и правые части и сравниваются.

3. Умножение матрицы на матрицу (перемножение матриц)

Произведением м-ы А_m´n на м-цу В_n´p называется матрица С_m´p: (3)

Обозначение:

(Строка i матрицы А умножается на столбец j матрицы В в смысле скалярного произведения)

Свойства:

1° (АВ)С=А(ВС) (ассоциативность)

2° А(В+С) = АВ+АС

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность)

Док-во через сравнение размерностей прав и лев частей.

ЗАМ: Произведения АВ и ВА определены и имеют одну и туже размерность лишь тогда, когда, А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка. Для таких матриц можно исследовать коммутативность. Вообще говоря, коммутативность не выполняется АВ ВА. Можно показать на простых примерах. Имеются некоторые частные случаи, когда коммутативность выполняется:

Если D = D_n – диагональная матрица, то . В частности если D = E и D = 0.

Минором k-ого (M_k) (где k≤{m,n}) порядка м-цы А_{m n} наз-ся определитель k-ого порядка с элементами, расположенными на пересечении произвольных k строк и k столбцов. Ес.

Число r, обладающий св-вами 1 и 2 наз-ют рангом м-цы А. При этом Mr наз-ют базисным минором, строки и столбцы, образующие минор сами наз-ся базисными.

Ранг матрицы – max порядок отличных от 0 миноров r(A)=rang(A).

Из Т. о базисном миноре (базисные строки (столбцы) линейно независимы; любая строка (столбец) представляется в вилле линейной комбинации базисных строк) следует, что ранг матрицы есть max число линейно независимых строк или столбцов.

Находят ранг несколькими способами:

1. методом элементарных преобразований. Используют тот факт, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг. Элементарные преобразования:

- перестановка любых двух строк (столбцов)

- умножение любой строки (столбца) на любое число, не равного 0

- умножение любой строки (столбца) на любое число и прибавление полученного результата к любой строке (столбцу)

Используя элементарные преобразования, приводят матрицу к треугольному виду, более того можно привести к диагональному виду.

Пр-р:

по построению первого определителя, отличного от нуля, ранг м-цы=2.

2. метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден , тогда рассматривают лишь те миноры (k + 1) порядка, которые содержат в себе .

Если все такие миноры = 0, то r(A) = k. Если же среди них , то процесс повторяется.

Обратная матрица.

Дана м-ца

Зам: м-ца А^-1 наз-ся обратной к А, если АА^-1=А^-1А Е, где Е – единичная м-ца.

А^-1 существует тогда и только тогда, когда

Нахождение обратной матрицы

1. По формулам:

1. Вычисляется ,
2. Если det A 0, то вычисляется P=P_A (А_ij)_{n n} (где – алгебраическое дополнение),
3. транспонируем В=Р^Т,
4. .

Пример

1. 
2. 
3. 
4. 

2. Метод исключения (на основе метода Гаусса)

Образуем систему линейных уравнений , (1)

АХ=У. (2)

X – неизвестные

Y – условно считаются известными.

По теореме Крамера система имеет единственное решение (так как )

Для построения обратной матрицы систему (2) решаем методом Гаусса, т.е. методом последовательного исключения:

,

Х=ВУ,

С другой стороны, с учетом (2) Х= А^-1У. Так как решение единственно, то В= А^-1.

Пример

Составляем СЛАУ

х₄=у₄; x₃=y₃-2y₄; x₂=y₂-2(y₃-2y₄)+3y₄=y₂-2y₃+7y₄; x₁=y₁-3y₂+11y₃-38y₄.

Определители. Определение и основные свойства (транспонирование, изменение порядка строк или столбцов, умножение на число, сложение строк или столбцов, разложение определителя по элементам строки или столбца). Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Каждой матрице Аº(a_ij)_n´n по ниже следующему правилу ставиться число – который называется определитель соответствующей матрицы А.

Понятие определителя произвольного порядка можно ввести по индукции:

1) Если n=1 => Dºа₁₁.

2) Если n=2 => Dº ºа₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂₌ .

3) если таким образом уже введен определитель n-1 порядка, то определитель nго порядка называется

Dº

M_1j – det (n-1)-ого порядка (j=1,n).

!!!Отличие определителя от матрицы!!!

– умножается вся строка

– умножается одна строка или столбец

Свойства det:

1° При замене строк столбцами, т.е. при транспонировании величина определителя не меняется.

По правилу треугольника распишем и . Сравнивая результаты, получим, что

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов => дальнейшие свойства достаточно сформулировать лишь для строк.

2° При перестановке любых 2-х строк определитель меняет лишь знак (доказательство на примере с правилом треугольника).

3° Если элементы 2-х строк равны, то det=0.

4° Общий множитель всех элементов некоторой строки можно вынести за знак det.

Доказательство – достаточно учесть, что в формуле треугольника каждое слагаемое содержит строго по одному элементу каждой строки и столбца. Следовательно, согласно правилу треугольника исходный определитель представляется в виде суммы шести слагаемых, причем каждое слагаемое обладает множителем l, который выносится за скобки, а в скобках – выражение, равное D.

5° Если все элементы некоторой строки = 0, то det = 0.

Доказательство – достаточно в 4° взять l=0.

6° Если соответствующие элементы 2-х строк пропорциональны, то det=0.

Доказательство – на основе 4° можно вынести коэффициент пропорциональности за знак определителя и по 3° det=0).

7° Если элементы некоторой строки представляют собой сумму 2-х слагаемых, то det может быть представлен в виде суммы 2-х det, у которых элементы рассматриваемой строки = соответствующим слагаемым.

Доказательство.

Рассуждения как в 4°.

8° Если к элементам некоторой строки прибавить элементы другой строки, умноженные на любое число, то величина det не изменится.

Доказательство:

(св-во 6,7)

T [Разложение det по строке]

Разложение по строке

Пр: