Покращення точності обчислень

Із шкільних курсів математики й фізики відомо, що точним аналітичним розв’язком задачі про рух тіла під дією сили пружності за відомих початкових умов (x = х ₀ при t = 0) є функція

x = x ₀cos .

Завдання. З метою порівняння результатів моделювання (стовпець D) з точними значеннями згідно з наведеною формулою створіть в таблиці два додаткові стовпці, в яких обчислюватимуться значення х_точн (стовпець Е) за щойно приведеною формулою і різниця
х – х_точн (стовпець F), як це показано на рис. 7.5. Виявляється, що в межах точності наших розрахунків (чотири десяткові розряди)
результат не є задовільним: розбіжність сягає 12%.

	A	B	C	D	E	F	G	H
	t	ах	vx	x	xточн	x-xточн	Дано:
	0,0	-4,000	0,000	0,010	0,0100	0,0E+00	x 0, м =	0,01
	0,01	-4,000	-0,040	0,0096	0,0098	-2,0E-04	v 0 x, м/с =
	0,02	-3,840	-0,078	0,0088	0,0092	-3,9E-04	D t, с =	0,01
	0,03	-3,526	-0,114	0,0077	0,0083	-5,7E-04	m, кг =	0,1
	0,04	-3,072	-0,144	0,0062	0,0070	-7,3E-04	k, Н/м =
	0,05	-2,494	-0,169	0,0045	0,0054	-8,6E-04	r, кг/с =
...	...	...	...	...	...	...

Рис. 7.5

Зрозуміло, що точність можна поліпшити за рахунок зменшення тривалості проміжку часу Δ t, але це приведе до збільшення обсягу
необхідної оперативної пам’яті комп’ютера і часу виконання обчислень. Відомий інший шлях підвищення точності: поліпшення обчислювального алгоритму, що ми і зробимо.

Як було показано в попередньому обговоренні алгоритму, нова координата тіла дорівнює попередній плюс добуток проекції швидкості v_х на інтервал часу Δ t. Але що це за швидкість? У який момент? Адже на початку інтервалу швидкість одна, а у кінці вона зовсім
інша. Якщо відома швидкість у деякий момент і відомо, що вона безперервно змінюється, то хіба можна сподіватися отримати задовільний результат, допускаючи, що тіло рухається впродовж усього проміжку часу Δ t з однаковою швидкістю?

Доцільніше використати деяку проміжну швидкість між початком і кінцем інтервалу.

Найпростіший прийом підвищення точності обчислень полягає в тому, щоб брати швидкість в середині інтервалу.

Для рівноприскореного руху, яким за нашою домовленістю є рух тіла впродовж і-го інтервалу Δ t, це середня швидкість v_{cр іx} на цьому інтервалі. Таким чином, необхідно дещо змінити наші міркування: нова координата х_і (у кінці і -го інтервалу) дорівнює попередній
координаті x_{і –1} (у кінці попереднього інтервалу) плюс добуток швидкості v_{cр іx} в середині інтервалу на Δ t. Ця швидкість, у свою чергу, дорівнює швидкості v_{c (і – 1) x} в середині попереднього інтервалу (тобто на проміжок Δt раніше) плюс прискорення на початку інтервалу, помножене на D t.

Іншими словами, нові рівняння матимуть вигляд:

x_і = x_{і -1} + v_{cр і}· D t, v_{cр іx} = v_{cр (і- 1) x} + a_іx ·D t.

Тепер, однак, щоб почати обчислення, необхідно скористатися додатковим рівнянням .

Додаючи далі до половини першого інтервалу по D t, ми кожного разу потраплятимемо в середину наступного інтервалу.

Відповідно до приведених міркувань внесемо зміни в п. 4 алгоритму:

v_іx =

тобто змінимо вміст однієї лише комірки С3, не змінюючи більше нічого.

Результат не змусить на себе чекати (рис. 5.6).

Так що тепер ми маємо наочне уявлення про ефективність чисельного аналізу: такий простий розрахунок за поліпшеним алгоритмом дає такий прекрасний результат. Адже тепер розбіжність не
перевищує 2,5%.

	A	B	C	D	E	F	G	H
	t	ax	vx	x	xточн	x-xточн	Дано:
	0,0	-4,000	0,000	0,0100	0,0100	0,0E+00	x 0, м =	0,01
	0,01	-4,000	-0,020	0,0098	0,0098	-6,7E-07	v 0 x , м/с =
	0,02	-3,920	-0,059	0,0092	0,0092	-2,6E-06	D t, с =	0,01
	0,03	-3,683	-0,096	0,0082	0,0083	-5,7E-06	m, кг =	0,1
	0,04	-3,299	-0,129	0,0070	0,0070	-9,6E-06	k, Н/м =
	0,05	-2,783	-0,157	0,0054	0,0054	-1,4E-05	r, кг/с =
...	...	...	...	...	...	...

Рис. 7.6(а)

Рис. 7.6(б)

Вправа. З курсу фізики відомо, що частота власних коливань пружинного маятника визначається за формулою

.

Оскільки джерелом і критерієм фізичного знання є експеримент, пропонуємо наступне:

1. Сплануйте й виконайте натурне лабораторне дослідження для перевірки останньої формули. Особливу увагу приділіть методу
визначення жорсткості k пружини і способам її практичної зміни (збільшення або зменшення), а також питанню про порівняння жорсткостей різних пружин.

2. Наша модель не передбачає наведеної формули. Перевірте, як вона відреагує на зменшення k у чотири рази; на збільшення m у
чотири рази. В обох випадках час моделювання брати однаковим.

3. Обчисліть за наведеною вище формулою частоту коливань вантажу на пружині, підставляючи у формулу параметри цієї моделі. Чи узгоджуються результати моделювання з теоретичними розрахунками? Зробіть висновок відносно адекватності моделі.

4. Виведіть на екран на одному малюнку графіки залежностей

х = х (t), v =v (t), а = а (t).

Це завдання має на меті проілюструвати фізичний смисл поняття «зсув фаз» і фактично закласти основи для формування надалі уявлень про зсув фаз коливань координати, швидкості й прискорення (чи їх аналогів у електродинаміці – заряду, сили струму і швидкості зміни сили струму, – при розгляді електромагнітних коливань).

При виконанні завдання може виникнути проблема одночасного виведення графіків несумірних величин. Так в нашій конкретній
моделі | a_max | >> | x_max |. Тому в середовищі електронних таблиць ми
рекомендуємо виводити графік х = х (t) з використанням додаткової осі й вибором для неї потрібного масштабу.