Попереднє обговорення алгоритму

Уточнимо послідовність дій, які слід виконати, щоб за допомогою комп’ютера досліджувати рух тіла під дією сили пружності в
середовищі з в’язким тертям (і з прискоренням, що змінюється в
часі). Для розв’язання цієї задачі скористаємося чисельним методом і виконаємо розв’язування шляхом покрокових обчислень. Головна ідея методу тут полягає в заміні складного неперервного руху зі змінним прискоренням послідовністю окремих короткочасних рівноприскорених рухів.

Як щойно було зазначено, весь час руху розіб’ємо на достатньо малі проміжки D t такі, щоб упродовж кожного з них величина сил, які діють на тіло, могла б вважатися постійною, тобто зміна прискорення була настільки малою, щоб ми могли вважати рух рівноприскореним. Будемо вважати, що зміна прискорення відбувається стрибкоподібно на початку кожного наступного проміжку D t. Тоді, зокрема, а _{0 х} = а _{1 х} , де а _{1 х} – проекція вектора прискорення від моменту
часу t = 0 до моменту t = 0+D t.

1. Спочатку обчислимо прискорення a _{0 x} у початковий момент:

.

2. Далі обчислимо швидкість v _{1 x} у кінці першого проміжку часу D t. Для рівноприскореного руху

v _{1 x} = v _{0 x} + a _{1 x} D t,

де v _{0 x} – проекція вектора швидкості у початковий момент t = 0.

Зауваження 1. При обчисленні швидкості в кінці будь-якого і - го інтервалу часу D t ми й надалі будемо використовувати значення прискорення на початку цього інтервалу:

v_іx = v _{(і- 1) x} + a_{і x} D t,

де v _{(і- 1) x} – кінцева швидкість тіла на попередньому інтервалі D t, яка одночасно є початковою швидкістю на даному інтервалі часу.

3. Нове положення тіла (нову координату) в кінці першого проміжку D t знайдемо за рівнянням

х ₁ = х ₀ + v _{1 x} D t.

де v _{(і- 1 ) x} – кінцева швидкість тіла на попередньому інтервалі D t, яка одночасно є початковою швидкістю на даному інтервалі часу.

Зауваження 2. При обчисленні координати в кінці будь-якого інтервалу часу D t будемо використовувати значення координати з попереднього інтервалу, а швидкості – з поточного, оскільки значення швидкості на цей момент буде вже обчислено:

х_і = х_{і- 1} + v_іx D t.

Записаний вираз для обчислення нової координати має відверто наближений характер, адже він виконується лише для рівномірного (а не рівноприскореного) руху. Ось чому цей вираз тим точніший, чим меншим є інтервал D t. Саме тому цей інтервал має бути настільки малим, щоб за цей час швидкість не змінювалася б помітним
чином. Проте виявляється, що цей вираз може бути досить точним, навіть коли інтервал D t і не зникаюче малий.

Маючи нові значення швидкості v_і і координати х_і, на наступному кроці знову можна визначити прискорення:

.

Так ми будемо починати кожний черговий цикл обчислень. Тобто пп. 1 – 3 будемо повторювати n разів, де n = t_мод /D t. Тут t_мод – час моделювання, який ми будемо визначати самі, обираючи тривалість інтервалу часу D t и відповідну кількість рядків таблиці.

Стосовно вибору часу моделювання відмітимо, що найчастіше цей такий час, після закінчення якого стає зрозумілою тенденція процесу. Наприклад, припиняються помітні зміни досліджуваних величин (перехід до рівноважного або стаціонарному стану); повторюється характер змін досліджуваних величин (процес є періодичним або стає таким); процес вимушено уривається в результаті досягнення граничних умов (зокрема, вільне падіння) тощо.

Значення проміжку Δ t має забезпечувати необхідну точність та стійкість обчислювального алгоритму.

Отже, суть алгоритму досить проста і добре відома в механіці: послідовність розрахунків можна представити такою циклічною схемою:

повторювати п разів