Модель Леслі з природними обмеженнями

Чисельність вільних популяцій ссавців для різних їх видів на
певних ареалах може змінюватися з часом у широких межах. У основі цих змін лежать різноманітні й не завжди зрозумілі причини. Біологи вважають, що відмінність в чисельності виникає в результаті зміни народжуваності й смертності особин (в термінах моделі Леслі – зміни коефіцієнтів народжуваності B_j і коефіцієнтів виживання S_j), які здебільшого обумовлені наступним:

- зменшенням необхідної кількості кормів і їх доступності;

- захворюваннями, які в екстремальних умовах набувають характеру різноманітних епізоотій (епідемій у тварин);

- коливаннями погодних умов (тривалих або несвоєчасних заморозків або опадів у вигляді снігопадів і дощів, а також посух);

- наявністю хижаків тощо.

Масові захворювання не лише призводять безпосередньо до
загибелі тварин, але і знижують плодючість, а також полегшують переслідування жертви хижаком, вони роблять тварин менш стійкими до згубної дії несприятливих умов.

Фахівцями встановлено існування в популяціях внутрішніх
механізмів регулювання чисельності, суть яких проявляється залежно від ситуації:

1) при різкому зменшенні чисельності можуть рости коефіцієнти народжуваності;

2) зниження коефіцієнтів народжуваності відбувається в результаті різкого зростання чисельності (щільності популяції).

Крім того, динаміка змін чисельності проявляється не лише в
часі, але й у просторі. Зміна чисельності виду в той або інший бік охоплює не всю площу ареалу, а лише окремі її частини залежно від різноманітності природних умов: чим більше їх одноманітність, тим на більшому просторі спостерігаються схожі зміни.

Для деяких видів зміна чисельності має помітну, хоча й не строго витриману періодичність. Тривалість періоду залежить від біологічного виду й умов існування.

Вивчення динаміки змін чисельності популяцій з метою її прогнозування (мисливські угіддя, рибні запаси, тваринний і рослинний світ тощо) ускладнюється тим, що перелічені вище чинники виявляються взаємозв’язаними і взаємообумовленими. Спростимо задачу так, щоб до її вирішення можна було застосувати модель Леслі.

Припустимо, що коли на кінець року чисельність вільної популяції виявляється більшою за деяке фіксоване число L, то в результаті надмірно великого скупчення особин коефіцієнти виживання S_j наступного року зменшуються в Q разів. Зокрема, причиною зменшення, може стати загострення конкуренції за їжу й простір (як
результат обмеженості ресурсів ареалу) або епізоотія, що веде до зростання смертності.

Вважаючи L (натуральне) і Q (Q> 1, дійсне) заданими, повернемося до розрахунку загальної чисельності популяції через m років.