Покращення моделі Леслі: врахування народжуваності й виживання

Одним з істотних недоліків розглянутої версії моделі є дуже спрощене припущення про смертності. Модель не враховує того очевидного факту, що в реальних популяціях здатність до виживання особин дуже часто буває пов’язана з їх віком і може бути різною для різних вікових груп.

Модель можна зробити більш реалістичною, якщо для всіх вікових груп, окрім коефіцієнтів народжуваності B_j, додатково ввести коефіцієнти виживання S_j: S ₁, ..., S_k, де 0< S_j ≤1 (j = 1, 2,..., k- 1). Це буде означати, що якщо в поточному році з номером і вікова група з номером j має чисельність N_j, то в наступному (і +1)-му році, ставши (j +1)-ю групою, вона буде мати чисельність S_j × N_j. Оскільки вік особин не може перевищувати k років, то S_k = 0.

Потомство поточного року не належить до жодної з груп, а
перейде до першої тільки у наступному році. Для обліку можливих тут втрат введемо S ₀ – коефіцієнт виживання потомства (j = 0). Тоді кількість особин у першій віковій групі становитиме

N _{(і+ 1 ) 1} = S ₀ · (В ₁∙ N ₁ +В ₂∙ N ₂ +... +В_k ∙ N_k).

Зауваження 2. Коефіцієнти виживання S_j так само, як і коефіці­єнти народжуваності В, повинні братися на основі багаторічних спостережень за популяціями певного виду. Встановлено, зокрема, що

- для ящірок характерна вкрай слабка залежність S_j від j, тобто добре виконуються наближені рівності S ₁ ≈ S ₂ ≈...;

- зменшення S_j з віком характерно для слонів і китів;

- максимум S_j для серединних значень j мають корови;

- дуже мале значення S_j для початкових значень j спостері­гається у риб, які розмножуються ікрою, але коефіцієнти В у них мають великі значення.

Тепер схема механізму розподілу за віковими групами при переході в наступний вік набуває вигляду, показаного на рис. 6.4.

	Вікова група 1	Вікова група 2	Вікова група k -1	Вікова група k
і-й рік	Nі 1	Nі 2	…	Nі (k- 1) Nіk
з них виживають	Nі 1 ·S 1	Nі 2 ·S 2	… Nі (k -1) Sk- 1		гине
(і+ 1) -й рік	N (і+ 1) 1 ...	N (і+ 1)2... N (і+ 1) (k- 1) N (і+ 1) k ... ... ...	гине
S 0 × приплід і -го року	…	…	…	…

Рис. 6.4

Таким чином, вважаючи, що додатково задані S ₀, S ₁, .., S_{k- 1}, знову розглянемо задачу розрахунку чисельності окремих вікових груп і популяції в цілому через m років.