Элементы математической логики

Контрольные вопросы.

1. Приведите примеры высказываний с кванторами.

2. Высказывания какого вида называются кванторами общности (кванторами существования)?

3. Как построить отрицание высказывания с квантором общности (существования)?

4. Как обосновать

а) истинность высказывания с квантором общности;

б) ложность высказывания с квантором общности;

в) истинность высказывания с квантором существования;

г) ложность высказывания с квантором существования?

5. Дайте определение импликации двух высказываний. Приведите таблицу истинности импликации.

6. Как определяется эквиваленция двух высказываний? Какой вид имеет таблица истинности эквиваленции?

7. Что называется отношением логического следования? Приведите примеры отношений логического следования.

8. Дайте определение отношения равносильности. Приведите примеры отношений равносильности.

9. Как связаны множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х), если

а) А(х) Þ В(х);

б) А(х) Û В(х)?

Упражнения

1. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль.

б) Произведение любого числа и единицы есть это число.

в) При делении нуля на любое другое число получается нуль.

г) Квадрат любого числа неотрицателен.

2. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы, заполнив таблицу:

Структура высказывания   Значение истинности	("хÎХ)А(х)	($хÎХ)½А(х)
И
Л

3. Докажите или опровергните следующие высказывания:

а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто.

б) Всякое целое число является натуральным.

в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное.

г) хотя бы одно натуральное число является решением уравнения

7: х =2.

4. Выявите логическую структуру, определите значение истинности и постройте отрицания следующих высказываний:

а) Некоторые нечетные числа делятся на 5.

б) Хотя бы одно из чисел первого десятка составное.

в) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел составное.

5. Предложения А(х) и В(х) заданы на множестве натуральных чисел. Следует ли из предложения А(х) предложение В(х), если В(х) - ²Число х - четное², и

а) А(х) - ²Число х делится на 6²;

б) А(х) - ²Число х делится на 7²;

в) А(х) - ²число х делится на 2²?

6.Установите, находятся ли данные пары предложений в отношении следования:

а) Треугольник АВС – равносторонний.

Треугольник АВС – равнобедренный.

б) Четырехугольник АВСD – квадрат.

Четырехугольник АВСD – ромб.

в) х делится на 3 и х делится на 6.

г) а > 2 и a > 5.

7. Среди следующих предложений установите истинные; ответы обоснуйте:

а) Если студент А сдаст все экзамены в сессию без троек, то он будет получать стипендию.

б) Число 15а натуральное, следовательно, а - натуральное число.

в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник.

г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то это четырехугольник - прямоугольник.

д) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.

е) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.

8. Для ложных высказываний из задания 7 постройте отрицания различными способами.

9. Вставьте слова ²и² либо ²или² так, чтобы следующие высказывания были истинными:

а) а*b = 0 Û a = 0... b = 0;

б) a*b ¹ 0 Û a ¹ 0... b ¹ 0;

в) xÎ A Ç B Û x Î A... x Î B;

г) x Ï A Ç B Û x Ï A... x Ï B

10. С помощью таблиц истинности найти значение формулы:

а) A= ;

б) B=() .

11. Семья, состоящая из отца А, матери В и трех дочерей Д₁, Д₂ и Д₃ купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:

1) Когда отец А смотрит передачу, то мать В делает то же;

2) Дочери Д₂ и Д₃ обе или одна из них смотрят передачу;

3) Из двух членов семьи – мать В и дочь Д₁ – смотрит передачу одна и только одна;

4) Дочери Д₁ и Д₂ или обе смотрят или обе не смотрят;

5) Если дочь Д₃ смотрит передачу, то отец А и дочь Д₂ делают то же.

Кто из членов семьи в этот вечер смотрит телевизор.

12. Приведите примеры таких значений а, для которых данное высказывание истинно:

а)

б)

13. Пусть высказывательная форма Q(x): “х делится на у ” определена на множестве N´N. Покажите, что высказывания и имеют различные логические значения.

14. Решите задачу: В городе совершено преступление. Подозреваемые: Джонс, Смит и Браун. Один из них – уважаемый старик, другой – мошенник, а третий – мелкий чиновник. Результаты допроса:

Браун: «Я совершил это, Джонс не виноват»;

Джонс: «Браун не виноват, преступление совершил Смит»;

Смит: «Я не виноват, виноват Браун»

Кто есть кто и кто преступник, если известно, что старик сказал правду, мошенник оба раза соврал, а чиновник один раз солгал и один раз сказал правду, а преступник один.

15. Даны высказывательные формы Р(х): “x² + x + 1 > 0” и Q(x):“x² – 4x + 3 = 0”, определенные на R. Установите, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

а)

б)

в)

г)