Приложение 1. Сведения из дифференциальной геометрии

Касательной к кривой К в точке М называют предельное положение секущей, проходящей через М и соседнюю точку М ₁ этой же кривой при стремлении М ₁ к точке М. Радиус-вектор точки кривой является функцией дуговой координаты r = r (s), поэтому орт t ⁰ касательной выражается в виде:

Откуда следует, что положительное направление касательной Мt совпадает с направлением отсчета дуговой координаты s.

Соприкасающейся окружностью кривой К в точке М называют предельное положение окружности, проходящей через М и две соседние точки этой же кривой М ₁ и М ₂ при стремлении М ₁ и М ₂ к М. Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а ее радиус r - радиусом кривизны кривой К в точке М.

Кривизной кривой К в точке М называют величину k обратную радиусу кривизны. Другое определение кривизны - предел отношения угла поворота D q касательной к соответствующему изменению D s дуговой координаты

Ось Мn, идущая из точки М в центр кривизны называется главной нормалью кривой К в точке М.

Плоскость соприкасающейся окружности называют соприкасающейся плоскостью кривой К в точке М. Можно определить соприкасающуюся плоскость и как предельное положение плоскости, которая проходит через касательную Мt и параллельна касательной М ₁ t, при стремлении точки М ₁ к точке М.

Из этих определений ясно, что касательная Мt и главная нормаль Мn лежат в соприкасающейся плоскости и взаимно перпендикулярны.

Направление орта t ⁰ касательной Мt зависит от дуговой координаты s точки М, следовательно t ⁰ = t ⁰(s). Вычислим производную

Здесь n ⁰ - орт главной нормали кривой.

Бинормалью к кривой К в точке М называют ось Мb, проходящую через точку М и образующую с касательной Мt и главной нормалью Мn правую тройку взаимно перпендикулярных осей (рис.10).

Касательную Мt, главную нормаль Мn и бинормаль Мb называют естественными осями кривой К в точке М.