Вектор скорости

Скорость характеризует быстроту и направление движения точки, поэтому естественно определить её как вектор перемещения точки D r = = r (t +D t) - r (t), отнесенный ко времени D t, за которое это перемещение произошло:

(5.4)

Недостатком такого определения будет зависимость скорости от продолжительности D t промежутка времени [ t, t + D t ] на котором производится вычисление скорости (рис.4).

Чтобы избавится от этой зависимости, можно дать абстрактно-математичес-кое определение вектора мгновенной скорости v (t) точки в момент времени t как предела отношения (5.4) при D t → 0:

(5.5)

В математическом анализе такой предел, если он существует, называют производной векторной функции r (t) и обозначают или . В механике для обозначения производной по времени традиционно используют точку: .

Итак, скорость точки – это производная её радиус-вектора по времени

(5.6)

Из (5.5) ясно, что размерность вектора скорости - [ длина/время ].

Замечание. При существовании производной (5.6) из D t → 0 следует М ₁ → М. Поэтому направление вектора D r = МM ₁ имеет пределом при D t → 0 направление касательной к траектории в точке М.

Следовательно, вектор скорости точки v (t) направлен вдоль касательной к траектории, проведенной из положения, занимаемого точкой в момент времени t.