При естественном описании движения

Пусть задана траектория движения точки М, а на ней указано начало О и положительное направление отсчета дуговой координаты s. Пусть также задано естественное уравнение движения точки (5.2).

Рассмотрим радиус-вектор r точки М относительно какого-нибудь неподвижного центра С (рис.6). Зависимость радиус-вектора r = от времени можно рассматривать как сложную функцию r = r [ s (t)]. Её производная по времени дает , где - единичный вектор касательной к траектории.

Итак, вектор скорости точки:

(5.13)

Чтобы получить ускорение, продифференцируем (5.13) по времени

. (5.14)

Последняя производная в правой части этого равенства может быть выражена (см. приложение 1) в виде

, (5.15)

где - кривизна, r - радиус кривизны траектории; n ⁰ - единичный вектор главной нормали, направленный к центру кривизны.

Подставляя (5.15) в (5.14) находим

, (5.16)

Это равенство означает, что вектор а ускорения точки имеет две составляющие: касательное ускорение

, (5.17)

направленное по касательной к траектории и нормальное ускорение

, (5.18)

направленное вдоль главной нормали к центру кривизны траектории (рис.7).

Пример 1. Векторное уравнение движения точки имеет вид:

r = (1 - 2 cos t) i + sin t j (r – в м, t – в с). (5.19)

Найти и построить траекторию точки. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t ₁ = 3 p /4 c.

Решение. Проецируя векторное равенство (5.19) на декартовы оси, получаем координатные уравнения движения точки:

x = 1 - 2 cos t, y = sin t, (х, y – в cм) (5.20)

Чтобы получить уравнение кривой, являющейся траекторией точки, исключим из уравнений движения (5.20) время t. Для этого сначала преобразуем уравнения (5.20) к виду

, ,

а затем, складывая полученные уравнения почленно, находим

Как известно из аналитической геометрии, уравнение

описывает эллипс с полуосями а = 2 см и b = 1 см и центром в точке С (1, 0). Этот эллипс (рис.8) и является траекторией точки.

Найдем положение точки в момент времени t ₁ = 3 p /4 c. Для этого вычисляем значения координат точки в этот момент времени:

см,

см

Этим значениям координат соответствует точка М на рис.8.

Находим выражения проекций вектора v скорости точки на координатные оси, используя формулы (5.10):

,

(здесь и далее точки над переменными означают дифференцирование по времени).

Вычисляем значения проекций при с:

см/c, см/c.

Находим модуль вектора скорости точки в момент времени с:

1,58 см/с.

Выражения проекций вектора ускорения а точки на координатные оси находим, используя формулы (5.12):

, .

Значения проекций, соответствующие моменту времени с:

см/c², см/c².

Модуль вектора ускорения при с:

1,58 см/c².

На рис.8 изображена траектория точки, её положение М в момент времени с, а также вектор скорости v и ускорения a.

Пример 2. Траектория движения точки – окружность радиусом R = 2 м. За начало отсчета дуговой координаты s выбрана точка А (рис.9), а за положительное направление отсчета – направление по ходу часовой стрелки. Естественное уравнение движения точки имеет вид:

s = 1 - 2 t + t ² (s – в м, t – в с). (5.21)

Найти положение этой точки, её скорость и ускорение в момент времени с.

Решение. Вычислим дуговую координату точки для момента времени с:

s (2) = 1 - 2·2 + 2² = 1 м.

Чтобы установить положение точки М на окружности найдем величину центрального угла

,

и откладывая его от луча ОА в направлении хода часовой стрелки, построим положение точки М (рис.9).

Вычисляем скорость, касательное и нормальное ускорения точки согласно (3.13), (5.17), (5.18):

,

м/c², м/c².

А также модуль ускорения точки

м/c²,

На рис.9 показаны направления вектора ускорения а точки и его составляющих: касательного a _t и нормального a _n ускорений.