Способы описания движения точки

Способы описания движения точки

В кинематике точка – это движущийся объект, размерами которого можно пренебречь и который, в каждый фиксированный момент времени, совпадает с некоторой геометрической точкой 3-хмерного евклидова пространства.

Все современные математические способы описания движения используют две основные идеи, автором которых, по-видимому, является Р.Декарт (1637): 1) числовая параметризация пространственного положения объекта (метод координат) и 2) использование функциональных зависимостей параметров положения от времени.

Координатный способ. Пусть задана система координат, жестко связанная с телом отсчета, например, декартова - ОXYZ. Положение точки М в трехмерном пространстве определяется ее координатами x,y,z (рис.1). Функциональные зависимости координат точки М от времени:

, , . (5.1)

полностью определяют движение этой точки. Уравнения (5.1) называют координатными уравнениями движения точки.

Этот способ описания движения применяется, как правило, для решения таких задач, в которых заранее неизвестна траектория точки. В зависимости от особенностей решаемой задачи вместо декартовых могут быть использовать полярные, сферические и другие системы координат.

Естественный способ. Пусть известна траектория движения точки, которую считаем жестко связанной с телом отсчета. Произвольную точку О траектории примем за начало отсчета. Положение точки М на траектории задается дуговой координатой s, модуль которой равен длине дуги ОМ траектории (рис.2), а знак определяется выбором положительного направления отсчета от начала О. На рис.2 положительное направление отсчета указано стрелкой.

При сделанных выше предположениях функциональная зависимость дуговой координаты от времени

s = f (t) (5.2)

полностью определяет движение точки. Равенство (5.2) называют естественным уравнением движения точки.

Этот способ описания движения особенно удобно использовать в тех задачах, где траектория точки известна и имеет простой вид (например, прямая или окружность).

Рис.3

Векторный способ. Зададим начало отсчета – точку О, жестко связанную с телом отсчета. Положение движущейся точки М относительно тела отсчета определяется радиус-вектором (рис.3), который задается как векторная функция скалярного аргумента - времени:

(5.3)

Равенство (5.3) называют векторным уравнением движения точки. Если функция r (t) задана, то вектор перемещения точки за промежуток времени [ t, t + D t ] выражается в виде векторной разности r (t +D t) - r (t).

Векторный способ описания движения применяют, как правило, в теоретических исследованиях. Его основные достоинства это компактность записи кинематических соотношений и их независимость от выбора системы координат.