Ортогональные траектории

Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением .

Ортогональные траектории – кривые, пересекающие линии данного семейства под прямым углом. Если есть дифференциальное уравнение семейства, то - дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.

Пример: Найти ортогональные траектории семейства эллипсов

Решение: Дифференцируя уравнение по у, находим дифференциальное уравнение семейства .

Отсюда, заменяя получим дифференциальное уравнения ортогональных траекторий .

Интегрируя, будем иметь (Семейство парабол).

>> syms x y

>> for a=1:10 % построение семейства эллипсов

hold on

ezplot(x^2+y^2-a^2)

end

>> y=dsolve('Dy=2*y/x','x') % диф. ур-ние ортогональных траекторий

y = C1*x^2

>> for C1=1:5 % построение ортогональных траекторий

hold on, y=C1*x^2

ezplot(y)

end

4.3.Пример решения геометрической задачи:

Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для которой отрезок любой её касательной, заключенной между координатными осями, делится пополам в точке касания.

Решение: Пусть есть середина касательной АВ, по условию являющаяся точкой касания (точки А и В – это точки пересечения касательной с осями координат). В силу условия Угловой коэффициент касательной к кривой в точке есть

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим

. И следовательно, . Используя начальное условие, определим С = 3*2 = 6 Итак, искомая кривая есть гипербола ху = 6.