Классификация уравнений

Краткие теоретические сведения.

Инженерные и научные задачи часто связаны с решением дифференциальных уравнений, так как с их помощью описываются многие физические явления. Соответственно процессы в технических устройствах так же описываются дифференциальными уравнениями. Природа этих процессов различна. При анализе тепловых режимов аппаратуры рассчитывают тепловые потоки, при изучении электромагнитных процессов – электрические и магнитные поля, при оценке прочности изделий вычисляют механические напряжения и деформации.

Определение дифференциального уравнения: дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Классификация уравнений

Дифференциальные уравнения принято делить на две группы: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат только одну независимую переменную, в качестве которой может выступать время или пространственная координата. Иначе говоря, в таких уравнениях все функции зависят только от одной переменной и их производные по этой переменной являются полными. Уравнения в частных производных содержат более одной независимой переменной. Этими переменными могут быть, например, одновременно пространственные координаты и время или только пространственные координаты для статической задачи. В таких уравнениях производные от функций по любой из независимых переменных являются частными. Кроме того, уравнение может содержать смешанные производные.

Основные понятия

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Общим решением уравнения 1 порядка называется функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением дифференциального уравнения.

Геометрическая интерпретация общего решения: общему решению на плоскости ХОУ соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной с.