Метод Эйлера. Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши

Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1) с соответствующим начальным условием (2). Расчетную формулу метода Эйлера получают, используя разложение функции u (x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки x_i:

(3)

Если приращение h мало (то есть h << x_i), то члены ряда, начиная со слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как малые величины. Тогда из (3) в первом приближении получим

(4)

Воспользуемся формулой (4), применив ее к единственной известной из условия задачи точке x ₀. Найдем в x ₀ производную , подставив (2) в (1):

Подставив последнее выражение в (4) и полагая x_i = x ₀, получим или, сокращая обозначения, в окончательном виде

Таким образом, (4) при известном значении функции u ₀ = u (x ₀) в начальной точке x ₀ позволяет найти приближенное значение u ₁ = u (x ₁) при малом смещении h от x ₀. На рис. 1 графически показан начальный шаг решения методом Эйлера.

Рис. 1. Метод Эйлера

Решение можно продолжить, используя найденное значение функции u ₁ для вычисления следующего значения – u ₂. Распространяя эти рассуждения на последующие точки, запишем расчетную формулу метода Эйлера в виде

(5)

Из рис. 1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связана с используемой линейной аппроксимацией u (x). Хотя тангенс угла наклона касательной к кривой точного решения в точке (x ₀, u ₀) известен и равен , он изменяется при смещении от x ₀ до x ₁. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h расчет u ₁ выполняется с погрешностью. Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h ², так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются – см.(3) и (4). Уменьшая h можно снизить локальную ошибку на шаге.