![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Этот метод является простейшим численным методом решения задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1) с соответствующим начальным условием (2). Расчетную формулу метода Эйлера получают, используя разложение функции u (x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки xi:
(3)
Если приращение h мало (то есть h << xi), то члены ряда, начиная со слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть отброшены как малые величины. Тогда из (3) в первом приближении получим
(4)
Воспользуемся формулой (4), применив ее к единственной известной из условия задачи точке x 0. Найдем в x 0 производную , подставив (2) в (1):
Подставив последнее выражение в (4) и полагая xi = x 0, получим или, сокращая обозначения, в окончательном виде
Таким образом, (4) при известном значении функции u 0 = u (x 0) в начальной точке x 0 позволяет найти приближенное значение u 1 = u (x 1) при малом смещении h от x 0. На рис. 1 графически показан начальный шаг решения методом Эйлера.
Рис. 1. Метод Эйлера
Решение можно продолжить, используя найденное значение функции u 1 для вычисления следующего значения – u 2. Распространяя эти рассуждения на последующие точки, запишем расчетную формулу метода Эйлера в виде
(5)
Из рис. 1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связана с используемой линейной аппроксимацией u (x). Хотя тангенс угла наклона касательной к кривой точного решения в точке (x 0, u 0) известен и равен , он изменяется при смещении от x 0 до x 1. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h расчет u 1 выполняется с погрешностью. Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h 2, так как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются – см.(3) и (4). Уменьшая h можно снизить локальную ошибку на шаге.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 401 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!