Двухфакторные системы взаимосвязанных индексов

Связь между экономическими показателями находит отражение во взаимосвязи их индексов, т. е. если z=yx, то и I_z=I_yI_х,а если z=y/x, то I_z=I_z/I_x. Индексы экономических показателей, тесно связанные ме­жду собой, образуют индексные системы. Системы взаимосвязанных индексов дают возможность для проведения анализа с целью опреде­ления роли отдельных факторов.

Двухфакторные системы индексов предполагают обязатель­ное наличие факторного индекса качественного показателя и фактор­ного индекса количественного показателя. Так, индексы цен и физи­ческого объема являются факторными по отношению к индексу стои­мости продукции (8,19) или (8,20):

или

Как известно, индексы характеризуют относительное изменение изу­чаемых показателей, в том числе за счет влияния отдельных факторов, и в то же время они позволяют определить абсолютное изменение результативного показателя, в том числе обусловленное влиянием факторов (8,21), (8,22) и (8,23), (8,24):

Пример. По данным о производстве продукции предприятием опреде­лить общий индекс физического объема, общий индекс цен и общий индекс стоимости; а также абсолютное изменение стоимости, в том числе за счет изменения факторов (физического объема и цен на продукцию).

Вид продукции	Выработано продукции, тыс. м3	Цена за 1 м3 продукции, тыс. руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
q0	q1	p0	p1
А Б В

Рассчитаем общий индекс физического объема продукции:

Следовательно, физический объем продукции предприятия в отчетном периоде снизился на 5,6% по сравнению с базисным.

Общий индекс цен:

Следовательно, за этот период цены на продукцию предприятия увеличились на 8,5%.

Общий индекс стоимости:

Таким образом, стоимость продукции выросла на 2,4% при росте цен на продукцию на 8,5% и сокращении физического объема на 5,6%. Произведем проверку вычислений:

Определим абсолютное изменение стоимости продукции за этот период:

В том числе за счет изменения физического объема:

Изменения цен на продукцию:

Таким образом, за исследуемый период стоимость всей продукции в целом выросла на 760 млн.руб. Изменение физического объема уменьшило стоимость продукции на 1800 млн. руб., а рост цен увеличил ее на 2560 млн.руб.

Аналогично можно представить взаимосвязь междуиндексамзатрат на производство (I_zq), себестоимости единицы продукции (I_z) и физического объема продукции (I_q) (8,25) или (8,26):

Или

Взаимосвязь индексов фонда оплаты труда (I_WT), численности работников (I_T) и средней заработанной платы (I_W) можно представить (8,27) или (8,28):

Или

8.5. Индексный метод анализа динамики среднего уровня

Экономические явления часто характеризуются с помощью средних величин. В частности, все качественные показатели, как правило, выражаются в виде средних: средняя цена единицы продукции (), средняя себестоимость единицы изделия (), средняя заработная плата одного рабочего (), выработка продукции в среднем на одного работника (), средняя трудоемкость одного изделия () и т.п. Для изучения динамики таких показателей в статистической практике применяются индексы средних величин (средних уровней).

Рассмотрим построение этих индексов на примере динамики средней трудоемкости единицы продукции (средних затрат времени на единицу продукции) (8,31):

где t₀ и t₁ - уровни трудоемкости единицы продукции соответственно за базисный и отчетный периоды;

q₀ и q₁ - количество единиц той же продукции соответственно за базисный и отчетный периоды.

Этот индекс называется индексом среднего уровня или индек­сом переменного состава. Он характеризует изменение среднего уровня в целом за счет двух факторов: изменения осредняемых уров­ней (индексируемой величины) и влияния структурных сдвигов, т. е. изменения удельных весов единиц совокупности с различным уров­нем значений индексируемого признака. Поэтому индекс переменного состава можно разложить на два индекса-сомножителя, каждый из ко­торых отражает влияние только одного из факторов, определяющих средний уровень.

Первый индекс-сомножитель отражает изменение только индек­сируемой величины, а веса берутся постоянные (фиксированные), по отчетному периоду (8,32):

Этот индекс называется индексом постоянного (фиксирован­ ного) состава. Он показывает, как изменяется средний уровень изу­чаемого показателя только за счет изменения непосредственно индек­сируемой величины (t).

Второй индекс-сомножитель отражает изменение только струк­туры (состава) изучаемой совокупности, а уровни осредняемого пока­зателя остаются неизменными (постоянными) и берутся по базисному периоду (8,33):

Этот индекс называют индексом структурных сдвигов. Он отражает изменение среднего уровня изучаемого показателя только за счет влияния структурных сдвигов.

Таким образом, система взаимосвязанныхиндексов, в которой индекс динамикисредней величины () является произведением индекса в постоянной (неизменной) структуре (I_t) и индекса,характеризующего влияние изменения структуры явления на динамику средней величины (I _{стр.сдв.}), в общем видезаписывается так (8,34):

Поэтому индекс структурных сдвигов часто рассчитывают как частноеот деления индекса переменного состава на индекс постоянного (фиксированного) состава.

Используя индексы средних величин, можно определить не толь­ко относительное влияние факторов, но и абсолютное изменение уровня среднего показателя (средней трудоемкости единицы продукции ) за счет изменения уровней осредняемого признака (индивидуальных уров­ней трудоемкости ) и за счет изменения структуры (удельных весов ). Для этого необходимо из числителя соответствующего индекса приведенной системы индексов вычесть знаменатель (8,35), (8,36) и (8,37):

Индексы средних величин можно рассчитать и другим спосо­бом, взяв в качестве весов не абсолютные показатели (q_i), а относи­тельные величины структуры, т. е. их удельные веса (d_i), которые рас­считываются делением соответствующих частей совокупности (q_i) ва всю совокупность (). Тогда индекс переменного состава будет оп­ределяться по такой формуле (8,38):

Где d₀ и d₁ - удельные веса количества продукции соответственно за базисный и отчетный периоды.

Индекс трудоемкости единицы продукции постоянного состава будет равен (8,40):

Индекс структурных сдвигов (8,41):

Пример. Способы расчета индексов средних величин рассмотрим на условном примере динамики средней трудоемкости единицы продукции.

Участок	Трудоемкость одного изделия, ч.	Выработано продукции	Индивидуальные индексы трудоемкости единицы продукции
Базисный период, t0	Отчетный период, t1	Базисный период	Отчетный период
тыс. шт., q0	% к итогу, d0	тыс. шт., q1	% к итогу, d1
1 2 Итого	4,0 2,5 -	3,2 2,4 -	4,0 2,4 10,0	40,0 60,0 100,0	7,2 4,8 12,0	60,0 40,0 100,0	0,80 0,96 -

Для расчета индекса переменного состава исчислим среднюю трудоемкость единицы продукции в базисном и отчетном периодах. Средняя продуктивность единицы продукции выражается как отношение общих затрат времени на производство данной продукции к общему ее количеству. Средняя трудоемкость в базисном периоде ( ) равна:

В отчетном периоде ( ):

Отношение средней трудоемкости в отчетном периоде к средней трудоемкости в базисном дает индекс переменного состава ( ):

В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя трудоемкость единицы продукции в цехе снизилась на 7,1%, в то время как на первом участке она снизилась на 20,0%, а на втором – на 4,0%. Поэтому определим влияние факторов, обусловивших снижение средней трудоемкости. Для этого рассчитаем, какой оказалась бы сред­няя трудоемкость единицы продукции в базисном периоде, скоррек­тированная на структуру фактического выпуска продукции, т. е. рассчитанная по продукции отчетного периода ( ):

Вычислим индекс постоянного состава, не учитывающий влияние изменения структуры выпускаемой продукции:

Средняя трудоемкость единицы продукции в отчетном по сравнению с базисным периодом снизилась на 15,3% только за счет снижения трудоемкости изделий на каждом участке.

Рассчитаем индекс влияния структурных сдвигов:

Следовательно, вследствие того, что в отчетном периоде по сравнению с базисным удельный вес продукции, выпускаемой на уча­стке № 1 и имеющей более высокую трудоемкость, увеличился на 20 пунктов и соответственно сократился удельный вес продукции уча­стка №2 с более низкой трудоемкостью, средняя трудоемкость еди­ницы продукции увеличилась на 9,7%.

Проверим правильность расчета индексов через их взаимосвязь:

Или

Т.е. 0,929=0,847*1,097

Такие же результаты получим, если рассчитаем индексы вторым способом, т. е. используя в качестве соизмерителей удельные веса:

Рассчитаем абсолютное изменение средней трудоемкости единицы продукции и разложим его по факторам:

Таким образом, средняя трудоемкость единицы продукции снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 0,22 ч., в том числе за счет снижения трудоемкости изделий на отдельных участках – на 0,52%, но из-за увеличения удельного веса более трудоемкой продукции средняя трудоемкость возросла на 0,3 ч.

8.6. Цепные и базисные индексы

Во всех рассмотренных выше индексах сравнивались данные за два периода времени: базисный и отчетный. Однако для более глубо­кого изучения динамики экономических явлений, определения зако­номерностей и тенденций их развития проводятся индексные сопос­тавления за ряд последовательных периодов. В этом случае рассчиты­вается система цепных и базисных индексов.

Базисными индексами называется система последовательно вычисленных индексов одного и того же явления, характеризующих его изменение по отношению к постоянной базе, т. е. в качестве знаменателя всех рассчитываемых индексов берется индексируемая ве­личина базисного периода. Цепными индексами называется система индексов одного и того же явления, показывающих изменение его по отношению к меняющейся базе, т. е. каждая индексируемая величина сравнивается с предшествующей величиной.

Выбор системы индексов определяется задачами анализа. Для оценки скорости происходящих изменений от периода к периоду используют цепные индексы. Если же необходимо определить общее изменение экономического явления за конкретный исторический пе­риод, рассчитывают базисные индексы.

Система цепных и базисных индексов может быть исчислена как для отдельного элемента сложного явления (индивидуальные ин­дексы), так и для всего сложного явления (общие индексы). Индиви­дуальные базисные и цепные индексы тождественны базисным и цеп­ным относительным величинам динамики. Последовательное произ­ведение n цепных индивидуальных индексов дает n -й базисный ин­декс, а отношение n -го базисного индивидуального индекса к предыдущему (n - 1) дает n -й цепной индекс.

При построении системы общих агрегатных цепных и базисных индексов одного и того же явления возникает вопрос о выборе весов (соизмерителей). В каждом отдельном общем индексе веса остаются неизменными, изменяется только индексируемая величина. Но если строить систему цепных или базисных агрегатных индексов, то веса в них могут быть либо одинаковыми (постоянными) для всех индексов, либо меняться от одного индекса к другому. Когда веса какого-либо одного периода (первоначального или базисного) постоянны для всех индексов, последние называются индексами с постоянными весами (соизмерителями), если веса меняются, говорят об индексах с пере­менными весами (соизмерителями).

Веса выбираются в зависимости от цели статистической работы и специфики изучаемого экономического явления. Переменные веса – это, как правило, веса отчетного (текущего) периода. С такими ве­сами обычно строятся ряды агрегатных индексов качественных пока­зателей: цены, себестоимости, трудоемкости единицы продукции и т. п. Это объясняется тем, что в агрегатных индексах таких показате­лей веса каждый раз принимаются на уровне отчетного периода, кото­рый для каждого индекса различный. Индексы с постоянными весами, как правило, строятся для количественных (объемных) показателей, что также согласуется с принципами построения агрегатных индексов.

Возьмем ряд анализируемых величин за n периодов:

цена единицы продукции p₀,p₁,p₂,…,p_n,

количество единиц продукции q₀,q₁ ,q₂,…,q_n,

и построим системы агрегатных факторных цепных и базисных ин­дексов с переменными и постоянными весами.

Индексы цен с переменными весами:

Цепные (8,42):

Базисные (8,43):

Индексы физического объема продукции с постоянными весами:

Цепные (8,44):

Базисные (8,45):

Индексы с постоянными весами имеют некоторые особенности. В отличие от индексов с переменными весами постоянные веса позво­ляют исключить влияние изменения структуры на динамику индекси­руемой величины. Кроме того, индексы с постоянными весами можно сравнивать между собой, а также, используя их взаимосвязи, получать цепные индексы из базисных и наоборот, ибо, как и в случае с инди­видуальными индексами, последовательное перемножение цепных индексов дает соответствующие базисные (8,46):

а отношение последующего базисного индекса к предыдущему дает цепной индекс, т. е.(8,47)

У индексов с переменными весами такие взаимосвязи отсутствуют.

Аналогично приведенным выше индексам цен и физического объема строятся ряды цепных и базисных индексов с переменными и постоянными весами и для других взаимосвязанных экономических показателей.

Пример. По исходным данным о производстве продукции пред­приятием за три года рассчитайте:

а) цепные и базисные индексы себестоимости с переменными весами;

б) цепные и базисные индексы физического объема с постоянными весами.

Покажите взаимосвязь между ними.

Год	Продукции А	Продукции Б
Себестоимость 1т, тыс. руб., z	Произведено, тыс.т., q	Себестоимость 1т, тыс. руб., z	Произведено, тыс. т, q
2000 (0)	24,0	162	13,5	98
2001 (1)	31,5	194	15,0	112
2002 (2)	36,0	181	21,5	123

а) цепные индексы себестоимости с переменными весами

Базисные индексы себестоимости с переменными весами:

Таким образом, себестоимость продукции предприятия по сравне­нию с предыдущим годом в 2001 г. увеличилась на 26,3%, в 2002 г. – на 21,4%. В целом за два года себестоимость продукции возросла на 52,6%.

б) Цепные индексы физического объема с постоянными весами:

Базисные индексы физического объема с постоянными весами:

Физический объем продукции по сравнению с предыдущим годом в 2001 г. увеличился на 18,4%, в 2002 г. - снизился на 2,7%. В целом за два года физический объем производства увеличился на 15,2%. При этом сохраняется соотношение между индексами (1,184*0,973=1,152).