Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Правило сложения дисперсий, рассмотренное применительно к вариации количественных признаков, сохраняется и при изучении ва­риации альтернативных признаков.

Общая дисперсия альтернативною признака определяется по формуле (5.22):

где р - доля единиц в совокупности, обладающих изучаемым призна­ком.

Внутри групповая дисперсия альтернативного признака рас­считывается по формуле (5,23):

где - доля единиц в i-той группе, обладающих изучаемым признаком.

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется следующим образом (5,24):

Межгрупповая дисперсия находится по формуле (5,25):

Общая дисперсия - по правилу сложения дисперсий (5,26):

Пример. По данным об удельном весе рабочих в цехах предпри­ятия требуется определить различные виды дисперсий.

Цех	Удельный вес основных рабочих, %,	Численность рабочих, чел.
1 2 3	80 75 90	100 200 150
ВСЕГО	-	450

Доля основных рабочих в целом по предприятию определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Общая дисперсия доли основных рабочих рассчитывается в це­лом по предприятию:

Для каждого цеха рассчитывается внутригрупповая (внутри­цеховая) дисперсия:

По трем цехам завода рассчитываются средняя из внутригрупповых дисперсий

межгрупповая дисперсия

общая дисперсия по правилу сложения дисперсий

Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

6.1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение

6.2. Основные способы формирования выборочной совокупности

6.3. Ошибка выборки

6.4. Определение необходимой численности выборки

6.1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение

Статистика различает два вида наблюдения в зависимости от полноты охвата единиц совокупности - сплошное и несплошное. Наиболее распространенной разновидностью несплошного наблюде­ния является выборочное.

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором обобщающие показатели изучаемой сово­купности устанавливаются по некоторой ее части, включающей еди­ницы, отобранные случайным образом. Изучаемая статистическая со­вокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокуп­ности часть единиц, подвергающихся обследованию, называется вы­борочной совокупностью или выборкой.

Выборочный метод применяется в тех случаях, когда проведе­ние сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесо­образно. В частности, проверка качества отдельных видов продукции может быть связана с ее уничтожением (например, оценка крепости ниток на разрыв; дегустация продуктов питания; контроль качества фарфора, электроламп, спичек, различных сплавов и т. п.). Отдельные статистические совокупности настолько велики, что было бы физиче­ски невозможно собрать данные в отношении каждой из единиц (например, изучение цен на рынках, изучение бюджетов семей). Выбо­рочное наблюдение используют также для проверки результатов сплошного наблюдения.

Выборочный метод позволяет при минимальной численности обследованных единиц наблюдение произвести в наиболее короткие сроки с минимальными затратами труда и средств. Повышается оперативность информации, уменьшаются ошибки регистрации вследствие лучшего кадрового обеспечения наблюдения, так как к его проведению привлекаются наиболее квалифицированные кадры.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности может в той или иной мере отличаться от состава генеральной совокупности. Возникающее вследствие этого расхождение между ха­рактеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Способы определения ошибки выборки и распро­странения характеристик выборки на генеральную совокупность и со­ставляют основное содержание статистической методологии выбо­рочного метода.

6.2. Основные способы формирования выборочной совокупности

При выборочном наблюдении, как правило, обследованию под­вергается сравнительно небольшая часть совокупности — 5—10%, реже 15-25%. Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько репрезентативна (т. е. представительна) выборка. Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюде­ние принципа случайности отбора единиц. Принцип случайности предполагает, что на включение объекта в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор, кроме случая.

Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. В практике выборочных наблюдений наибольшее рас­пространение получили собственно-случайная, механическая, типиче­ская, серийная, комбинированная выборки. При этом основным видом является собственно-случайная выборка. Все другие являются ее развитием или видоизменением.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад без каких-либо элементов сис­темности. Отбор проводят методом жеребьевки или по таблицам случайных чисел. В первом случае всем элементам генеральной со­вокупности присваивается порядковый номер и для каждого элемента готовится жребий (пронумерованный шар или фишка). Жребии пере­мешиваются в специальном ящике, из которого затем отбираются наугад. Во втором случае производится выбор случайных чисел по специальным таблицам, которые и образуют порядковые номера для отбора. В соответствии с объемом генеральной совокупности выбира­ется любой столбец или строка с числами необходимой значимости.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. Для проведения бесповторного отбора в процессе же­ребьевки выпавшие жребии обратно в совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. Если используются таблицы случайных чисел, то бесповторность отбора достигается пропуском чисел при их повторении в выбранном столбце или столбцах.

Механическая выборка применяется в случаях, когда гене­ральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (например, табельные номера работников, избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т. п.). Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотношением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 5000 единиц предполагается получить 2%-ную выборку, т. е. отобрать 100 единиц, то пропорция отбора составит 1:50 (1/5000:100). Это значит, что отбирается одна из каждых 50 единиц. В соответствии с установленной пропор­цией отбора генеральная совокупность механически разбивается на равновеликие группы (в нашем примере по 50 единиц). Из каждой группы в выборку отбирается одна единица. При этом устанавливается начало отсчета, т. е. номер единицы, которая должна быть обследована первой, и шаг отсчета, т. е. расстояние между отбираемыми единицами. За начало отсчета чаще всего принимают единицу, лежащую в середине первого интервала для исключения возможности возникновения систематической ошибки выборки. Шаг отсчета равен ширине интервала, на который разбивается совокупность. Механиче­ский отбор можно рассматривать как разновидность собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп (т. е. осуществить типологическую группировку). На пример, при обследованиях населения такими группами могут быть районы, социальные, возрастные или образовательные группы; при обследовании предприятий - отрасли и подотрасли, формы собственности и т. п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. При этом отбор единиц в типическую выборку может быть организован пропорционально объему типических групп либо про­порционально внутригрупповой вариации признака.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы сово­купности объединены в группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в соб­ственно-случайном или механическом отборе серий, внутри каждой из которых производится сплошное обследование единиц.

Комбинированный отбор представляет собой различные соче­тания уже рассмотренных видов выборки. Так, можно комбинировать типическую исерийную выборки, когда серии выбираются в установ­ленном порядке из нескольких типических групп. Возможно также комбинирование серийного исобственно-случайного отбора, при ко­тором отдельные единицы отбираются внутри серии всобственно-случайном порядке.

6.3. Ошибка выборки

В процессе проведения выборочного наблюдения могут возни­кать ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Случай­ных и систематических ошибок регистрации и систематических оши­бок репрезентативности можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Случайных ошибок репрезентативности избежать невозможно, поскольку они возникают в силу того, что вы­борочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Однако среднюю величину случайной ошибки можно рассчитать, пользуясь методами теории вероятностей.

Применяя выборочной метод, в статистике используют два вида обобщающих показателей: средняя величина количественного при­знака; относительная величина альтернативного признака (доля единиц совокупности, обладающих признаком).

В соответствии с двумя видами обобщающих показателей суще­ствует два вида формул средней ошибки выборки: для расчета сред­ней ошибки средней величины количественного признака в вы­борке; для расчета средней ошибки доли. Эти формулы в свою оче­редь имеют разновидности, зависящие от способа отбора.

Введем следующие обозначения:

N - объем генеральной совокупности (число составляющих ее единиц);

- объем выборки (число обследованных единиц);

- средняя величина признака в генеральной совокупности(генеральная средняя);

- средняя величина признака в выборочной совокупности (выборочная средняя);

- доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности (генеральная доля);

- доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выбо­рочной совокупности (выборочная доля);

- генеральная дисперсия;

- выборочная дисперсия (для больших выборок, т. е. при );

- число серий в генеральной совокупности; г - число отобранных серий.

В табл. 6.1 приведены основные формулы для расчета ошибки выборки.

Таблица 6.1