Показатели вариации. Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака у отдельных единиц совокупности называются вариацией признака

Зарегистрированные в процессе статистического наблюдения различия величины признака у отдельных единиц совокупности называются вариацией признака. По степени вариации признака можно судить о процессах развития изучаемых явлений, о типичности средних величин. Дело в том, что средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывая строения совокупности. Она не показывает, как относительно нее располагаются варианты осредняемого признака — сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но водном случае все индивидуальные значения могут мало отличаться от нее, а в другом - эти отличия могут быть велики, т. е. в одном случае вариация признака мала, а в другом - велика, что имеет большое значение для характеристики надежности средней величины.

Для определения меры вариации признака в статистике исполь­зуются абсолютные и относительные показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадрата чес кое отклонение.

Размах вариации (R) является самым простым из абсолютных показателей вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

где X_max - максимальное значение признака в совокупности;

X_min - минимальное значение признака в совокупности.

Величина размаха вариации зависит только от крайних значений учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах изучаемой совокупности. Поэтому при изучении вариации нельзя ограничиваться расчетом только этого показателя. Для анализа вариации необходимы показатели, дающие обобщенную характер всех колебаний варьирующего признака.

Среднее линейное отклонение является простейшим показате­лем такого типа и представляет собой среднюю величину абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от их средней ариф­метической величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных дан­ных определяется по формуле (5.2):

Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных рассчитывается так (5.3):

Следует отметить, что среднее линейное отклонение не всегда улавливает степень вариации значений признака. Поэтому в статисти­ке применяется более чувствительный обобщающий показатель - дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклоне­ний индивидуальных значений признака от их средней величины. Возведение в квадрат позволяет резко усилить различия в величинах отклонений.

Дисперсия для несгруппированных данных вычисляется по формуле (5.4):

Дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается так (5.5):

Для расчета дисперсии применяется также следующая формула (5.6):

Среднее квадратическое отклонение представляет собой ко­рень квадратный из дисперсии (5.7) или (5.8):

или

Среднее квадратическое отклонение также как и среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Однако величине среднеквадратическое отклонение во всех случаях превыша­ет среднее линейное, так как более чутко реагирует на вариацию. Для симметричных и умеренно асимметричных распределений имеет ме­сто следующее соотношение (5.9):

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квад­ратическое отклонение выражаются в именованных числах, т. е. име­ют единицу измерения (такую же, как и значения признака). Поэтому их нельзя непосредственно использовать для сравнения степени ва­риации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уров­нем средних, а также для сравнения вариации двух различных призна­ков в одной группе. В этих случаях применяются следующие относи­тельные показатели вариации.

Коэффициент осцилляции (5.10)

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации) (5.11):

Коэффициент вариация (5.12):

Коэффициент вариации позволяет не только получить обоб­щающую характеристику вариации признака в совокупности, но и дает возможность сделать выводы об однородности совокупности. Со­вокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Средние величины, рассчитанные по однородной совокупности, являются ее достаточно надежными характеристиками.

5.2. Вариация альтернативного признака

В статистике помимо показателей вариации количественных признаков широко используются показатели вариации качественных признаков (в частности, при проектировании выборочного наблюдения). Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении 0 (нуля) у единиц, которые этим признаком не обладают, или 1 (единицы) у тех, которые данный признак имеют. Пусть р — до­ля единиц в совокупности, обладающих данным признаком, q — доля единиц, не обладающих данным признаком, причем p+q=1.

Среднее значение альтернативного признака определим по формуле средней арифметической (5.13):

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле (5.14):

Таким образом, средняя величина альтернативного признака равна его доле в данной совокупности, а дисперсия — произведению доли его наличия и доли его отсутствия. Максимальное значение дис­персии альтернативного признака, означающее максимальную неод­нородность совокупности, равно 0,25 при p=q=0,5.