Упражнения. № 1. Доказать основные свойства отношения включения:

№ 1. Доказать основные свойства отношения включения:

ХÌ X;

(XÌY) Ç(Y Ì X) Þ X=Y;

(XÌY) Ç(Y ÌZ) Þ XÌZ.

№ 2. Доказать следующие свойства пустого множества:

ÆÌ X; ХÌÆÛ Х=Æ, где Х – произвольное множество.

№ 3. Показать, что для любого натурального n имеет место эквивалентность:

Х₁ÌХ₂Ì... ÌX_nÌX₁ÛX₁=X₂=... =Х_n.

№ 4. Пусть k и n — натуральные числа и k£n. Сколько различных подмножеств из k элементов содержит множество из n элементов? Сколько различных подмножеств содержит множество из n элементов?

№ 5. Используя результаты предыдущей задачи решить следующие:

1. Пусть М — некоторое множество n точек пространства. Сколько можно построить ломаных линий, вершинами которых являются какие-либо k точек из М и только точки из М?

2. Сколько всего ломаных линий, верщины которых суть точки множества М?

№ 6. Опишите каждое из следующих множеств, используя подходящее свойство:

а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10};

б) {3, 6, 9, 12, 15};

в) {4, 9, 16, 25};

г) {10, 12, 14, 16}

№ 7. Пусть R— числовая прямая; изобразить на ней следующие множества:

а) 3<x<4;

б) х²—5х+6<0;

в) |х|<2.

№ 8. Доказать следующие формулы, выражающие отношение включения через операции объединения и пересечения.

а) XÌYÛXÈY=Y;

б) XÌYÛXÇY=X.

№ 9. Доказать следующие свойства пустого множества:

а) XÈÆ=X;

б) ХÇÆ = Æ.

№ 10. Найти:

а) {а, b, с}Ç{а, с, d, f };

б) {а, b, с}È{b, с};

в) {а, b, с, d)\{a, f, g, k}

Обозначенные различными буквами элементы различны.

№ 11. Пусть N₁ = { 1, 3,7}; N₂ = { 0, 1, 3, 4, 8 }. Из каких элементов состоят множества:

а) N₁´N₂ и N₂´ N₁;

б) (N₁´N₂) Ç(N₂´ N₁) и (N₂´ N₁) È(N₁´N₂);

№ 12. Пусть даны множества А, В, С и , , - дополнения соответствующих множеств А, В, С до универсального множества U. Изобразите при помощи кругов Эйлера следующие множества (АÇВÇ С=Æ):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ;

№ 13. Используя круги Эйлера, докажите следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .