Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

1. Пересечение множеств.

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 4.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 4 можно записать следующим образом:

Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}. (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

(2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):

xÎAÇB Þ xÎA Ù xÎB (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

, (3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):

хÏАÇВ Þ хÏА Ú хÏВ. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 4-7 (пересечение заштриховано).

А

Р

В

U

А

U

Р=B

U

Р=A=B

А

Р=Æ

В

U

рис. 4. рис. 5 рис. 6 рис. 7

2. Объединение множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 5.

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 5 можно записать с помощью характеристического свойства:

С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

(5)

а также знаком дизъюнкции

х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

(6)

или

x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис.

8-11 (объединение заштриховано).

А

U

B

А

В

U

А

В

U

U

С=A=B

рис. 8 рис. 9 рис. 10 рис. 11

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)

Замечание1.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А₁Ç А₂Ç…Ç А_n={x ï xÎ" A_i, i= },

Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A_i, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A₁ÈA₂È…ÈA_n={x ï xÎA₁ или xÎA₂ или …или xÎA_n}.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

3. Разность множеств.

Определение 6.

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А В, где символ является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 6 следующим образом:

C=A B={x ï xÎA и xÏB} (8)

или

(9)

а также xÎA B Þ xÎA Ù xÏB. (9а)

Пример 1.

Если E₁={2; 4; 6} и E₂={6; 8; 10}, то E₃=E₁ E₂={2; 4}, E₄=E₂ E₁={8;10}.

Пример 2.

Если M₁={x₁; x₂; x₃}, M₂={y₁; y₂}, то M₃=M₁ M₂={ x₁; x₂; x₃},

M₄=M₂ M₁={y₁; y₂}.

Пример 3.

Если K₁={1; 3; 5; 7; 9}, K₂={5; 7; 1}, то K₃=K₁ K₂={3; 9}, K₄=K₂ K₁=Æ.

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 12- 15, где множество А ÷ В заштриховано.

А

В

U

А

U

B

U

A\B=Ø

A=B

А

В

U

рис. 12 рис. 13 рис. 14 рис. 15

4. Дополнение к множеству.

Определение 7.

Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или А В.

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 8.

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

= {x ï xÏA}. (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 7 и 8) изображены на рис. 16 и 17 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

A

B

U

A

U

рис. 16 рис. 17

5. Симметрическая разность множеств.

Определение 9.

Симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

(11)

Графически симметрическую разность можно представить в виде:

рис. 18

6. Прямое произведение множеств.

Определение 10.

Прямым произведением, или декартовымпроизведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aÎA и bÎB. При этом используют следующее обозначение:

. (12)