![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим некоторые операции над множествами.
1. Пересечение множеств.
Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} и B={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.
Определение 4.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 4 можно записать следующим образом:
Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}. (1)
Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.
Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:
(2)
Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):
xÎAÇB Þ xÎA Ù xÎB (2а)
Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.
Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Символически это может быть записано так:
, (3)
где квадратная скобка заменяет союз “или”.
В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):
хÏАÇВ Þ хÏА Ú хÏВ. (3а)
Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.
Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 4-7 (пересечение заштриховано).
А |
Р |
В |
U |
А |
U |
Р=B |
U |
Р=A=B |
А |
Р=Æ |
В |
U |
рис. 4. рис. 5 рис. 6 рис. 7
2. Объединение множеств.
Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.
Определение 5.
Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:
А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 5 можно записать с помощью характеристического свойства:
С= А È В={xï xÎA или xÎB}. (4)
Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой
(5)
а также знаком дизъюнкции
х ÎА È В Þ хÎА Ú хÎВ. (5а)
Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.
Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:
(6)
или
x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB. (6а)
Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис.
8-11 (объединение заштриховано).
А |
U |
B |
А |
В |
U |
А |
В |
U |
U |
С=A=B |
рис. 8 рис. 9 рис. 10 рис. 11
Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:
АÈА=А, АÈÆ=А, АÈU=U. (7)
Замечание1.
Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:
Р= А1Ç А2Ç…Ç Аn={x ï xÎ" Ai, i= },
Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств Ai, которая принадлежит каждому множеству одновременно.
Замечание 2.
Если А1, А2,…, Аn – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:
C= A1ÈA2È…ÈAn={x ï xÎA1 или xÎA2 или …или xÎAn}.
Замечание 3.
Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).
3. Разность множеств.
Определение 6.
Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Символически разность двух множеств обозначается так:
А В, где символ
является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 6 следующим образом:
C=A B={x ï xÎA и xÏB} (8)
или
(9)
а также xÎA B Þ xÎA Ù xÏB. (9а)
Пример 1.
Если E1={2; 4; 6} и E2={6; 8; 10}, то E3=E1 E2={2; 4}, E4=E2
E1={8;10}.
Пример 2.
Если M1={x1; x2; x3}, M2={y1; y2}, то M3=M1 M2={ x1; x2; x3},
M4=M2 M1={y1; y2}.
Пример 3.
Если K1={1; 3; 5; 7; 9}, K2={5; 7; 1}, то K3=K1 K2={3; 9}, K4=K2
K1=Æ.
Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 12- 15, где множество А ÷ В заштриховано.
А |
В |
U |
А |
U |
B |
U |
A\B=Ø |
A=B |
А |
В |
U |
рис. 12 рис. 13 рис. 14 рис. 15
4. Дополнение к множеству.
Определение 7.
Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или А
В.
Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или
.
Определение 8.
Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или
.
Это определение может быть записано в виде:
= {x ï xÏA}. (10)
Графически дополнения (соответственно определениям 7 и 8) изображены на рис. 16 и 17 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.
A |
B |
U |
A |
U |
рис. 16 рис. 17
5. Симметрическая разность множеств.
Определение 9.
Симметрическая разность двух заданных множеств A и B — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
(11)
Графически симметрическую разность можно представить в виде:
рис. 18
6. Прямое произведение множеств.
Определение 10.
Прямым произведением, или декартовымпроизведением множеств
и
называется множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aÎA и bÎB. При этом используют следующее обозначение:
. (12)
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 995 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!