Решение. а) Раскроем скобки (A+B)·(A+C)ºA×A+A×C+B·A+B·C

а) Раскроем скобки (A+B)·(A+C)ºA×A+A×C+B·A+B·C

б) По закону идемпотентности A·AºA, следовательно, A×A+A×C+B·A+B·CºA+A×C+B·A+B·C

в) В высказываниях А и А·C вынесем за скобки А и используя свойство А+1º1, получим А+А×С+B×A+B×CºA×(1+С)+B×A+B×СºA+B×A+B×С

г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.

A+B×A+B×СºA(1+B)+BСºA+B×С

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

3. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение А+A×B

Решение. A+A×BºA(1+B)ºA - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A×B+A×

Решение. A×B+A× ºA(B+ )ºA - склеивание

4. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 4. Преобразовать формулу так, чтобы не было отрицаний сложных высказываний.

Решение. 1. Воспользуемся формулой де Моргана, получим:

2. Для выражения применим еще раз формулу де Моргана, получим:

5. Любую формулу можно тождественно преобразовать так, что в ней не будут использованы:

- знаки логического сложения;

- знаки логического умножения,

а будут использованы:

- знаки отрицания и логического умножения

- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.

Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.

Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим: