Определители. Понятие определителя вводится только для квадратных матриц

Основные понятия

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица порядка . Составим произведение из различных элементов матрицы , выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Запишем это произведение в виде . Будем называть его членом определителя. Рассмотрим последовательность чисел . По самому построению члена определителя это различные числа, которые представляют собой перестановку чисел от 1 до . Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел, когда старшее стоит перед младшим. Например, в перестановке 1,2,4,5,7,9,10,8,3,6 будет 12 инверсий. Обозначим число инверсий в перестановке через . Так как из чисел можно составить различных перестановок, то число различных членов определителя равно !

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы называется алгебраическая сумма ! членов определителя перед каждым из которых стоит знак . Или

где сумма берется по всем возможным перестановкам .

Хотя определитель матрицы это число, будем для удобства столбцы и строки матрицы называть также столбцами и строками ее определителя .

Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка

.

Члены определителя имеют вид , где принимают значения 1 и 2. Возможны две пары значений и . Поэтому

.