Ранг матрицы. Определение 1. Пусть даны вектор – столбцов порядка

Основные понятия

Определение 1. Пусть даны вектор – столбцов порядка

и скаляров . Умножая на и складывая, получим вектор – столбец с элементами , который называется линейной комбинацией столбцов .

Определение 2. Столбцы называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация

,

где ноль справа это нулевой вектор – столбец.

Определение 3. Столбцы называются линейно независимыми, если равенство

возможно только при условии .

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости вектор – столбцов является равенство одного из них линейной комбинации других.

Пример. Пусть даны вектор – столбцы

.

Нетрудно заметить, что столбец равен сумме . Поэтому при линейная комбинация данных столбцов равна нулю и, следовательно, они линейно зависимы.

В общем случае проверка условия линейной зависимости сводится к нахождению ненулевого решения системы уравнений

Рассмотрим теперь матрицу порядка .

Определение 4. Натуральное число называется рангом матрицы , если у нее имеется минор порядка отличный от нуля, а все миноры порядка и выше, если это возможно, равны нулю. Очевидно, что .

Определение 5. Если ранг матрицы равен , то всякий отличный от нуля минор порядка матрицы называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы , на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы. Любой столбец (любая строка) матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).

Из последних утверждений следует второе определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк).