Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Основные понятия
Определение 1. Пусть даны вектор – столбцов порядка
и скаляров . Умножая на и складывая, получим вектор – столбец с элементами , который называется линейной комбинацией столбцов .
Определение 2. Столбцы называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация
,
где ноль справа это нулевой вектор – столбец.
Определение 3. Столбцы называются линейно независимыми, если равенство
возможно только при условии .
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости вектор – столбцов является равенство одного из них линейной комбинации других.
Пример. Пусть даны вектор – столбцы
.
Нетрудно заметить, что столбец равен сумме . Поэтому при линейная комбинация данных столбцов равна нулю и, следовательно, они линейно зависимы.
В общем случае проверка условия линейной зависимости сводится к нахождению ненулевого решения системы уравнений
Рассмотрим теперь матрицу порядка .
Определение 4. Натуральное число называется рангом матрицы , если у нее имеется минор порядка отличный от нуля, а все миноры порядка и выше, если это возможно, равны нулю. Очевидно, что .
Определение 5. Если ранг матрицы равен , то всякий отличный от нуля минор порядка матрицы называется базисным минором. Строки и столбцы матрицы , на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
Теорема (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы. Любой столбец (любая строка) матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов (строк).
Из последних утверждений следует второе определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк).
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 241 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!