Обратная матрица. Квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице того же порядка, если

Квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице того же порядка, если

.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность матрицы т.е.

.

В этом случае обратная матрица существует, является единственной и определяется соотношением

,

где алгебраические дополнения элементов матрицы .

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

Полезно помнить, что если матрица является треугольной, то является треугольной того же типа, что и матрица . Обратная к симметричной матрице тоже симметрична.

Пример. Найти матрицу обратную к матрице

.

Определитель и, следовательно, обратная матрица существует. Алгебраические дополнения элементов матрицы равны

Поэтому

.

Задачи

Найти матрицы обратные к данным.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

6. .

7. Решить матричные уравнения:

а) .

б) .

8. Показать, что вычисление матрицы, обратной к данной матрице порядка , можно свести к решению систем линейных уравнений, каждая из которых содержит уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .

9. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :

а) переставить ю и ю строки?

б) ю строку умножить на число ?

в) к й строке прибавить ю, умноженную на число , или совершить аналогичное преобразование столбцов?