Действия с матрицами

1. Транспонирование матриц. Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров. Пусть дана матрица порядка . Тогда транспонированной по отношению матрице называется матрица порядка , элементы которой . Транспонирование матрицы обозначается как .

Пример. Пусть Тогда

2. Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц одинакового типа. Суммой двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой Используется обозначение .

3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы порядка и числа называется матрица того же типа, элементы которой . Используется обозначение .

Пример. Пусть

Тогда матрица

4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матрицы на матрицу вводится для прямоугольных матриц при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Произведением матрицы порядка и матрицы порядка , заданных в определенном порядке ( — первая, — вторая), называется матрица порядка , элементы которой

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов - й строки матрицы на соответствующие элементы - го столбца матрицы .

Пример 1. Пусть . Тогда

,

.

Пример 2. Пусть . Тогда

.

Задачи

Вычислить произведения матриц:

1. 2. . 3. .

4. . 5. .

6. Доказать, что если для матриц и оба произведения и существуют, причем , то матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок.

Вычислить выражения:

7. . 8. . 9. .

10. , порядок матрицы равен .

11. Найти значение многочлена от матрицы .

12. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

а) . б) .

13. Доказать, что если матрицы и - квадратные и имеют одинаковый порядок, причем , то

.

14. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

.