Інтегральна формула Муавра-Лапласа

На відміну від попередньої формули, інтегральна формула дає можливість знайти ймовірність настання події не якесь певне число разів, а ймовірність того, що це число разів виявиться розташованим у межах від m ₁ до m ₂(m ₁ < m ₂).

Якщо за однакових умов виконується n незалежних дослідів і ймовірність настання події А у кожному з них однакова і дорівнює р (0,1 < p < 0,9), а число дослідів досить велике (npq ³ 10), то ймовірність того, що подія А в цих випробуваннях відбудеться число разів, розташоване в межах від m ₁ до m ₂ включно (m ₁ < m ₂), визначається наближеною формулою

P_n (m ₁£ m £ m ₂)» F(x ₂) – F(x ₁), (1)

де .

Точність обчислень за обома формулами Муавра-Лапласа покращується зі збільшенням виразу npq. При використанні інтегральної формули Муаврв-Лапласа (1) слід пам’ятати, що:

1) функція F(х) непарна F(х) = -F(х). Тому ця функція табульована лише для додатних значень аргументу х;

2) обмежена, монотонно зростає і .

На практиці при х > 5 можна вважати, що F(х)» 0,5.

Приклад. Для попереднього приклада

4. Найпростіший потік подій

Означення. Послідовність подій, що відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу, називається потоком подій.

Потік випадків на телефоній станції, потік відмов у роботі механізму та ін.

Найпростіший потік подій (пуассонівський). Для нього характерно:

1) стаціонарність – ймовірність того, що за проміжок часу t відбувається m подій, залежність тільки від m і довжини t і не залежність від місця розташування t по відношенню до початку відліку часу;

2) відсутність післядії – зазначена ймовірність не залежить від того, яке число подій відбулося до початку інтервалу t.

3) ординарність – поява двох і більше подій за малий проміжок часу практично неможливо, інакше: за нескінченно малий проміжок часу може з’явитися не більше однієї події.

Інтенсивністю потоку l називається середнє число подій, які з’явилися за одиницю часу.

– формула Пуассона.

Якщо l відомо, то ймовірність появи m подій у найпростішому потоці за час t визначаємо формулою Пуассона.

Доведено, що якщо потік уявляє собою суму великої кількості незалежних стаціонарних потоків, сумарний потік у разі його ординарності наближається до найпростішого.

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром l = 3 с^–1.

Обчислити ймовірність того, що за 2 секунди через умовну лінію пройде: 1) 4 автомобіля; 2) не більше як 4.

1) l t = 3×2 = 6; P₂(4) = 64 × e ^–6/4!» 0,13.

2) P ₂(0 £ m £ 4) = 0,29.