Приклади

Приклади

1. Якщо виготовлена деталь, то вона може бути стандартною або нестандартною. Ці дві події несумісні.

2. Кидаємо гральний кубик. Одноразове випадання цифр 1, 2, 3, 4, 5 і 6 – події несумісні.

Події у деякому випробуванні називаються рівноможливими (рівноймовірними), якщо в силу симетрії випробування жодна з них об'єктивно не може бути більш можливою, ніж будь-яка інша. Поява герба і цифри – рівноможливі події. Вважаємо монету симетричною. Теж саме відноситься до появи цифр 1–6 на гранях кубика.

Декілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування хоча б одна із них відбудеться.

Випадіння герба і випадіння цифри – повна група подій. Поява білої кульки і поява чорної кульки з урни, в якій декілька чорних і білих кульок – утворюють повну групу подій.

Події, які утворюють повну групу і є несумісними і рівоможливими, називаються випадками або шансами.

Випадок називається сприятливим для деякої події, коли поява цього випадку викликає появу даної події.

Події будемо позначати буквами А, В, С,...

Приклад. При киданні грального кубика можливі шість випадків: поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тоді для події А – поява парного числа очків – сприятливими є три випадки – 2, 4, 6.

Класичне визначення ймовірності подій.

Ймовірністю події А називається відношення числа випадків m, що є сприятливими для події А, до числа n всіх випадків. Якщо цю ймовірність позначити через P (A), то

P (A)= m / n, (1)

де P (A) – ймовірність події А, n – число випадків взагалі, m – число випадків, що сприяють появі події А.

Так як число сприятливих подій завжди міститься між 0 і n (0 – для неможливих подій і 1 – для вірогідної події), то ймовірність випадкової події, обчислена за формулою (1), завжди є раціональний дріб

0 < P (A) < 1.

Ясно, що ймовірність неможливої події Р (А) = 0, вірогідної Р (А) = n/n = 1.Тоді ймовірність будь-якої події

0 £ P (A) £ 1.

Приклади безпосереднього підрахунку ймовірності:

1. Визначити ймовірність випадання парного числа очків при киданні грального кубика.

Всього випадків 6: випадіння очків 1, 2, 3, 4, 5, 6.Сприятливих

події А = {випадіння парного числа очків} – три (2, 4, 6), отже

Р (А)= 3/6 = 1/2.

2. Монету кидають двічі. Яка ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться "герб".

Вважаємо для простоти, що монети підкидаємо одноразово. Можливі наслідки

герб – цифра

цифрa – герб

цифра – цифра

герб – герб

Наслідків 4, сприятливих – 3,

Р (А)= 3/4.

1.2. Відносна частота подій та її стійкість

Як було встановлено, формула (1) математичної ймовірності справедлива для елементарних подій, яким властиві якості випадків: вони утворюють повну групу, несумісні і рівноможливі. В теорії ймовірностей говорять, що у такому разі задача зводиться до схеми випадків.

Однак, більшість задач до схеми випадків не зводиться. Події, які у них розглядаються, хоч і несумісні і утворюють повну групу подій, можуть бути нерівноможливими. Як правило, про рівноможливість судять виходячи із міркувань симетрії. Так при киданні грального кубика ми вважаємо, що многогранник правильний. Однак, задачі, в яких можна виходити із міркувань симетрії, на практиці зустрічаються дуже рідко.

У таких задачах використовується так звана статистична ймовірність або відносна частота події, які встановлюються із досліду (математична ймовірність встановлюється до досліду).

Нехай при n випробуваннях подія А з'являється m разів. Відносна частота події є відношення

Р* (А)= m/n. (4)

При малому числі дослідів частота носить випадковий характер, однак при достатньо великій їх кількості вона стабілізується, наближаючись до ймовірності події. Ця властивість частоти розповсюджується на будь-які задачі, розглядаючи ймовірність як деяке теоретичне значення, коло якого коливається відносна частота події. Це можна прослідкувати на подіях, які зводяться до схеми випадків. Наприклад, ймовірність появи "герба" при киданні монети Р (А) = 1/2. Проведемо дослід з киданням монети.

Число кидань	Число появ "герба"	Відносна частота
		0,5069
		0,5016
		0,5005

Як бачимо, відносна частота прямує до ймовірності події із збільшенням числа дослідів.

Якщо б ми провели, наприклад, 10 дослідів, то "герб" міг би з'явитися тільки 2 рази і тоді Р (А) = 0,2.

Як бачимо, висновки теорії ймовірності правомірні лише для події, які мають масовий характер.

1.3. Практично неможливі і практично вірогідні події. Принцип практичної впевненості

Практично неможливою подією називається така, ймовірність якої близька до нуля.

Наприклад, із 32 літер алфавіту виймається картка з однією із них, літера записується і повертається назад, картки змішуються і знову виймається літера. Так повторюємо 24 рази. Розглянемо подію А – після 24 виймань ми запишемо рядок "Реве та стогне Дніпр широкий ".Ця подія теоретично можлива, але її ймовірність дорівнює , тобто практично неможлива.

Практично вірогідною називається подія, ймовірність якої близька до одиниці.

Практично вірогідні і практично неможливі події грають велику роль в теорії ймовірностей, на них спирається все практичне застосування цієї науки.

Якщо ймовірність деякої події А у даному досліді Е досить мала, то можна бути практично впевненим у тому, що при одноразовому виконанні досліду Е подія А не відбудеться. Цим принципом ми постійно керуємося у житті. На літаку можлива катастрофа. Але ймовірність її мала. Вирушаючи у подорож, ми керуємося принципом практичної впевненості – вважаємо катастрофу неможливою.

1.4. Основні теореми теорії ймовірностей

1.4.1. Алгебра подій

Математичні операції можна виконувати не тільки над числами і літерами, але і над подіями. Цим і займається розділ математики, що називається "алгеброю подій".

Означення 1. Сумою або об'єднанням подій А і В називається подія С, яка полягає в появі або події А, або події В, або подій А і В разом.

Інакше: подія С полягає в появі хоча б одного із подій А чи В. Позначається: С = А + В (С = А È В).

Сумою декількох подій А ₁, А ₂,..., А_n називається подія С, яка полягає в тому, що відбувається хоча б одна з цих подій.

Приклад. Подія А – влучення у мішень при першому пострілі, В – при другому. Подія С = А + В – влучення у мішень або при першому, або при другому пострілі, або при двох разом.

Якщо події А і В несумісні, то сума подій А + В зводиться до появи або А, або В.

Приклад. Маємо один підйомний кран. Подія А – обробка краном трюму № 1, В – трюму № 2. С = А + В – обробка краном або трюму № 1, або трюму № 2.

Означення 2. Добутком або перетином двох подій А і В називається подія С, яка полягає в тому, що ці події відбуваються сумісно.

Позначається: С = А×В (А Ç В)

Добутком декількох подій А ₁, А ₂,..., А_n називається подія С, яка полягає в тому, що всі ці події відбуваються сумісно.

Приклад 1. Подія А – влучення при першому пострілі, В – при другому, С – влучення при обох пострілах.

Приклад 2. Подія – промах при і -му пострілі. С = А ₁ × А ₂ × А ₃ – промах при трьох пострілах.

Приклад 3. У ящику лежать деталі, виготовлені заводами № 1 і № 2. Подія А – поява стандартної деталі, В – деталь виготовлена на заводі № 1, тоді С = АВ – поява стандартної деталі, виготовленої на заводі № 1.

При використовуванні поняттями сума і добуток корисно користуватися геометричною інтерпретацією цих понять.

Подія А – попадання точки в область А, В – в область В.

Означення 3. Події А і В називаються рівними (А = В),якщо вони є набором одних і тих самих елементарних подій.

Приклад. Подія А – сума очків, що випала при киданні 2-ох гральних кубиків, що не перевищує трьох, В – добуток, що не перевищує двох.

А = {2 + 1,1 + 2,1 + 1}, В = {2 × 1,1 × 2,1 × 1} Þ А = В.

1.4.2. Елементи комбінаторики

При розв'язуванні багатьох задач з теорії ймовірностей доводиться підраховувати число різних варіантів. Розділ математики, в якому розглядаються задачі, пов'язані із скінченими множинами та складанням різних комбінацій з елементів цих множин, називається комбінаторикою.

Комбінаторику використовують не тільки у теорії ймовірностей, але й при розв'язуванні задач економіки, теорії обчислювальних машин тощо.

Правило добутку. Якщо компоненту х ₁ рядка (х ₁, х ₂,..., х_k) можна вибрати n ₁ способами, компоненту х ₂ – n ₂ способами,..., х_k – n_k способами, то існує N = n ₁× n ₂... n_k можливостей утворення рядка (х ₁, х ₂,..., х_k).

Приклад. В їдальні є чотири перших блюда, п'ять других і три третіх. Скількома способами можна скласти із них обід?

Розв'язання:

Обіду можна поставити у взаємо-однозначну відповідність рядок (х ₁, х ₂, х ₃), де х ₁ можна вибрати n ₁ = 4 способами, х ₂ – n ₂ = 5 способами, а х ₃ – n ₃ = 3 способами. Значить існує N = n ₁× n ₂× n ₃ = 4×5×3 = = 60 можливих способів вибору обіду.

Перестановки. Нехай маємо множину із n елементів. Будемо переставляти їх між собою. Одержуємо кожен раз нові упорядковані множини, що відрізняються одна від одної тільки порядком наслідування елементів. Їх називають перестановками із n елементів і позначають через Р_n. Знаходять перестановки за формулою Р_n = n!, де n! = 1 × 2 × 3 ×... × (n – 1) n. За означенням 0! = 1.

Приклад. Скількома способами можна розсадити в аудиторії 6 студентів?

Розв'язання. Р ₆ = 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720.

Розміщення. Маємо множину із n елементів, із яких утворюємо підмножини по m елементів (m <= n), такі, що відрізняються одна від одної або самими елементами, або їх порядком. Такі впорядковані підмножини називають розміщенням і позначають А_n^m.

Приклад. Із чотирьох елементів А, В, С, D можна утворити такі розміщення по два:

АВ,АС,АD,BC,BD,CD	Всього
BA,CA,DA,CB,DB,DC

Можна довести, що А_n^m = n (n – 1)(n – 2)... [ n – (m – 1)], або

(1)

Комбінації або сполучення (російською – сочетания). Маємо множину із n елементів, із якої утворюємо підмножини по m елементів (m £ n), такі, що відрізняються одна від одної хоча б одним елементом. Такі впорядковані підмножини називають комбінаціями і

Позначають C_n^m.

У наведеному прикладі очевидно, що C ₄² = 6.

Взагалі доводиться, що

(2)

Із (2) з врахуванням (1) можна одержати, що

(3)

За останньою формулою легко довести, що

. Так .

1.4.3. Теорема додавання ймовірностей

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Доведення:

Нехай А і В – дві несумісні події і n – загальне число випадків, із яких події А сприяє m ₁ випадків, а В – m ₂. Тоді за класичною формулою ймовірностей маємо

P (A)= m ₁/ n, P (B)= m ₂/ n.

Оскільки події А і В несумісні, то m ₁ випадків, що сприяють події А, не сприяють події В і m ₂ випадків, що сприяють події В, не сприяють події А. Отже, сумі подій А + В сприяють m ₁ + m ₂ випадки із загального числа випадків n. За класичною формулою теорії ймовірностей

Теорема доведена.

Методом повної математичної індукції можна довести, що теорема справедлива для випадку А ₁, А ₂,..., А_n несумісних подій, тобто

Р (А ₁ + А ₂ +... + А_n) = Р (А ₁) + P (А ₂) +... + Р (А_n)

Приклад. У грошево-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігруються 150 речових і 50 грошових виграшів. Чому дорівнює ймовірність виграшу, речового або грошового для власника одного білета.

Розв’язання:

Всього n = 10000 несумісних, рівноможливих і таких, що утворюють повну групу, подій. Подія А – речовий виграш, В – грошовий.

Р (А) = 150/10000 = 0,015; Р (В)=50/10000 = 0,005.

Оскільки А і В – несумісні події (на один квиток можна одержати або речовий, або грошовий виграш), то

Р (А + В)= Р (А) + Р (В) = 0,015 + 0,005 = 0,02 (2 %).

Наслідок 1. Якщо події А ₁, А ₂,..., А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1.

Доведення:

Так як події А ₁, А ₂,..., А_n утворюють повну групу несумісних по­дій, то поява хоча б однієї з них вірогідна подія і Р (А ₁ + А ₂ +... + А_n) = = 1, а так як А ₁, А ₂,..., А_n несумісні, то за доведеною теоремою

Отже

Дві несумісні події, що утворюють повну групу, називаються протилежними.

Приклад. Нехай подія А – виріб вищого ґатунку. Протилежною подією є виріб не вищого ґатунку.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

(1)

Цей наслідок є наслідком наслідка1. Із (1) випливає, що

(2)

Формула (2) дуже важлива для розв’язування задач.

Приклад. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навздогад вилучених двох деталей є хоча б одна стандартна.

Розв’язання:

Подія А – серед вилучених деталей є хоча б одна стандартна, – немає стандартних.

1.4.4. Теорема добутку ймовірностей

Введемо поняття незалежних і залежних подій. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулася подія В чи ні.

Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність події А залежить від того, відбулася подія В чи ні.

Ймовірність події В, яку обчислюють при умові, що подія А відбулася, називають умовною і позначають Р (В/А).

Приклад 1. Кидають дві монети. Подія А – поява цифри на першій, В – поява цифри на другій. У даному випадку ймовірність події А не залежить від В. А і В – незалежні події.

Приклад 2. В урні 7 білих і три чорних кульки. Двоє виймають із урни по одній кульці. Розглянемо події:

А – поява білої кульки у першої особи;

В – поява білої кульки у другої особи.

Ймовірність події А до того, як стало що-небудь відомо про подію В, тобто Р (А)=7/10. Якщо стало відомо, що подія В відбулася, то Р (А/В)=6/9, з чого робимо висновки, що подія А залежить події В.

Як бачимо, умову незалежності події А від події В можна записати у вигляді:

Р (А) = Р (А/В),

а умову залежності – у вигляді:

Р (А) ¹ Р (А/В).

Теорема добутку ймовірностей.

Ймовірність добутку двох подій дорівнюєдобутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену при умові, що перше мало місце: Р (АВ) =Р (А) Р (В/А).

Доведення:

Доведемо теорему для схеми випадків. Нехай маємо n випадків, несумісних між собою, рівноможливих і таких, що утворюють повну групу подій. Зобразимо їх у вигляді n точок.

Вважаємо, що події А сприяє m випадків, а В – k. Оскільки ми не вважаємо, що А і В несумісні, то існує l випадків, що сприяють А і В разом. Тоді

Р (АВ) =l/n, P (A) =m/n, P (B/A) =l/m,

що і треба було довести.

Зауваження. При доведенні теореми не має значення, яку подію вважати першою, а яку другою. Тому ще і

Р (АВ) =Р (B) ×Р (А/В)

Наслідок 1. Якщо подія А не залежить від події В, то подія В не залежить від події А.

Доведення:

Із того, що А не залежить від В, випливає, що Р (А) = Р (A/В). Відомо, що Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) або Р (АВ) = Р (В) Р (А/В). Звідси Р (А) Р (В/А) =Р (В) Р (А/В) Þ Р (В) =Р (В/А).

Останнє означає, що В не залежить від А. Отже, події А і В взаємонезалежні.

Таким чином події називаються незалежними, якщо поява однієї із них не змінює ймовірності появи іншої.

Наслідок 2. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Доведення:

Р (АВ) =Р (А) Р (В/А), але Р (В/А) =Р (В), бо події А і В незалежні за умовою. Отже, Р (АВ) = Р (А) Р (В) .

Теорема добутку ймовірностей може бути узагальнена на випадок більш ніж двох подій.

Наприклад, Р (АВС) = Р (АВ) Р (С/АВ) = Р (А) Р (В/А) Р (С/АВ). Якщо події А, В, С незалежні, то Р (АВС) = Р (А) Р (В) Р (С).

Приклад. В партії з 10 виробів 6 виробів першого ґатунку, а 4 – другого. Знайти ймовірність того, що три перші закуплені вироби є вироби першого ґатунку.

Розв’язання:

Нехай подія А – всі три вироби першого ґатунку, – і -ий виріб першого ґатунку. Тоді А = А ₁ А ₂ А ₃ Р (А) = Р (А ₁) Р (А ₂ /А ₁) Р (А ₃ /А ₁ А ₂) = (6/10)(5/9)(4/8) = 1/6.

В заключенні відмітемо, що якщо події А і В сумісні, то теорема додавання має вигляд

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)

Справедливість теореми випливає з малюнка.

Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (АВ) – Р (АС) – Р (ВС) + Р (АВС).

Складаємо площі трьох кіл, а потім віднімаємо їх попарно спільні частини, але тоді ділянка, загальна для усіх трьох кіл залишається неврахованою. Для того, щоб не порушувати рівності, в правій частині слід додати ймовірність, що відповідає цій ділянці (pиc. 1).

1.4.5.Формула повної ймовірності

Ця формула є наслідком теорем додавання та добутку.

Нехай подія А може відбутися при умові появи однієї з несумісних подій H ₁, H ₂,..., H_n, що утворюють повну групу. Останні події називають гіпотезами.

Відомі ймовірності гіпотез і умовні ймовірності P (A/H_і).Треба знайти Р (А) (рис. 2).

Маємо:

(1)

Þ

. (2)

Формула (2) одержується з (1) із наступних міркувань: оскільки події несумісні, то події H _і× A також несумісні, а далі послідовно застосовуємо теореми про суму несумісних подій і про теорему про добуток подій.

Формула (2) називається формулою повної ймовірності.