Повторення незалежних випробувань

1.5.1. Фор м ула Бернуллі

В теорії масового обслуговування, теорії інформатиці зустрічаються задачі, в яких один і той же дослід повторюється неодноразово, а в результаті досліду подія А може статися, а може ні. У кожному досліді нас буде цікавити два наслідки:

настане подія А чи ні (настане ).

Нехай подія А настає у кожному випробуванні з однаковою ймовірністю, а ця ймовірність не залежить від того, чи відомі наслідки попереднього досліду. Такі випробування називаються незалежними від події А.

Прикладом незалежних подій може бути перевірка кількох партій виробів на брак, якщо процент браку у кожній з партій однаковий, а з кожної партії перевіряють один виріб.

Ставиться задача: нехай виконується n незалежних дослідів. Ймовірність появи події А у кожному з них однакова і дорівнює р. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться m разів в n дослідах. Нехай подія – поява події А в і -ому досліді, а – не поява в і -ому досліді. Подія В_m – подія А з’явилась рівно m разів.

До кожного доданку подія А входить m разів, – (n – m) разів. Якщо ймовірність події А дорівнює р, то .

Використовуючи теореми ймовірності суми несумісних подій та ймовірності добутку незалежних подій, дістанемо ймовірність події B_m. При цьому враховуємо, що число вище згаданних комбінацій дорівнює . Тому

Останню формулу ще записують

(1)

і називають формулою Бернуллі.

Приклад. Ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність 5 влучень при 6 пострілах.

Розв’язання: р = 0,8; q = 0,2; n = 6; m = 5.