Метод порядкових статистик

Нехай x₁,..., x_n - n незалежних спостережень над випадковою величиною x з функцією розподілу, що залежить від параметра a, значення якого потрібно оцінити; x_{(1 )}£ x₍₂₎ £... £ x_(n) - варіаційний ряд (спостереження, упорядковані в порядку зростання), x_(k) - порядкова статистика з номером k.

Квантиль x_р обраного рівня р (наприклад, р = 0.5, x_0.5 -медіана) є функцією параметра а:

x_р = f (a),

виразимо а через x_р

а = g (x_р)

і замість x_р підставимо вибірковий квантиль = x _{([ np ]+1)}, що є порядкова статистика з номером [ np ] +1; одержимо оцінку

= g (x _{([ np ]+1)})

Відомі наступні властивості.

Якщо функція g неперервна, то оцінка спроможна. Якщо розподіл спостережень неперервний з щільністю q(x), то асимптотично нормальна з параметрами

M = x_р, D =

Зрозуміло, що в такий же спосіб можна побудувати оцінки і для багатовимірного параметру. Основна і дуже важлива перевага оцінок, заснованих на порядкових статистиках, - це їхня стійкість до засмічення спостережень.

5. Граничні теореми

5.1. Теорема Бернуллі

5.2. Закон великих чисел у формі Чебишева

5.3. Реалізація практично достовірної події

5.4. Стиск розподілу з ростом числа доданків