Посилений закон великих чисел

Теорема Бореля (1909 р.) (перша теорема на цю тему) затверджує, що відносна частота f_n º появи випадкової події з ростом числа n незалежних іспитів прямує до імовірності p

(5.6)

з імовірністю 1. Іншими словами, при будь-якому експерименті з нескінченним числом іспитів має місце збіжність послідовності f_n до p.

Будемо говорити, що для послідовності випадкових величин посилений закон великих чисел є справедливим, якщо

при n® ¥ (5.7)

з ймовірністю 1.

В частинному випадку, при рівних математичних сподіваннях, Mxi=a, це означає

при n® ¥ (5.8)

з імовірністю 1.

Достатня умова виконання (5.7) дає наступна теорема.

Теорема Колмогорова. Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових величин задовольняє умові

,

то для неї справедливий посилений закон великих чисел.

Для незалежних і однаково розподілених випадкових величин справедливий остаточний результат:

Теорема. Необхідною і достатньою умовою для застосовності посиленого закону великих чисел до послідовності незалежних величин є існування математичного сподівання.