Вправа 3

Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання по заданій вибірці з генеральної сукупності, розподіленої за нормальнимзаконом , вважаючи, що Мх і – точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії.

Вказівка. Розглянемо статистику . Як відзначалося вище, вона розподілена за законом Стьюдента з ступенем волі. Тоді

. (*)

У формулі (4.3) щільність f(x) визначається виразом

У яке замість n варто підставити . Невідоме визначається з (*), а довірчий інтервал – з нерівності

.

Таким чином, .

I. Записати формули довірчого інтервалу математичного сподівання , вважаючи дисперсію відомою.

2. Записати формули для довірчого інтервалу дисперсії , вважаючи математичне сподівання відомою величиною.

3. Вважаючи, що довірча імовірність обчислити довірчі інтервали:

I) для математичного сподівання, вважаючи дисперсію: а) відомою величиною , б) невідомою величиною (використовувати оцінку);

2) для дисперсії, вважаючи математичне сподівання а) відомою величиною , в) невідомою величиною. Результати порівняти.

Вказівка до завдання I. Врахувати, що статистика розподілена за нормальним законом .

Вказівка до завдання 2. Розглянути статистику .

Зауваження до завдання 3. Вважати, що генеральна сукупність, з якої взято вибірку, розподілена за нормальним законом. При цьому у випадку великих n розподілу і Стьюдента збігаються до нормального закону, тому при n>30 можна вважати, що статистики , , розподілені за нормальним законом .

Вправа 4. Символьно розв’язати системи рівнянь:

2.10. Контрольні запитання

1. Назвіть способи знаходження початкового наближення.

2. Які функції для розв’язку одного рівняння в MathCAD ви знаєте? У чому їхня різниця?

3. Які аргументи функції root не обов'язкові?

4. У яких випадках MathCAD не може знайти корінь рівняння?

5. Яка системна змінна відповідає за точність обчислень?

6. Як змінити точність, з яким функція root шукає корінь?

7. Як системна змінна TOL впливає на розв’язок рівняння за допомогою функції root?

8. Назвіть функції для розв’язку систем рівнянь у MathCAD і особливості їхнього застосування.

9. Опишіть структуру блоку розв’язку рівнянь.

10. Який знак рівності використовується в блоці розв’язок? Якою комбінацією клавіш вставляється в документ?

11. Які вирази не припустимі всередині блоку розв’язок рівняння?

12. Опишіть способи використання функції Find.

13. У яких випадках MathCAD не може знайти розв’язок системи рівнянь?

14. Дайте порівняльну характеристику функціям Find і Minerr.

15. Які рівняння називаються матричними?

16. Як розв’язувати матричні рівняння? Назвіть способи розв’язку матричних рівнянь.

17. Як символьно розв’язати рівняння систему чи рівнянь у MathCAD? Який знак рівності використовується? Якою комбінацією клавіш вставляється в документ?

18. Назвіть особливості використання символьного розв’язку рівнянь.

3. СИМВОЛЬНІ ОБЧИСЛЕННЯ

3.1. Виділення виразів для символьних обчислень

3.2. Символьні операції

3.2.1. Операції з виділеними виразами

3.2.2. Операції з виділеними змінними

3.2.3. Операції з виділеними матрицями

3.2.4. Операції перетворення

3.3. Стиль представлення результатів обчислень

3.4. Приклади символьних операцій у командному режимі

3.5. Оператори обчислення границь функцій

3.6. Завдання операторів користувача

3.7. Вправи для самостійної роботи

3.8. Контрольні запитання

Системи комп'ютерної алгебри забезпечуються спеціальним процесором для виконання аналітичних (символьних) обчислень. Його основою є ядро, що зберігає всю сукупність формул і формульних перетворень, за допомогою яких робляться аналітичні обчислення. Чим більше цих формул у ядрі, тим більш надійна робота символьного процесора і тем імовірніше, що поставлена задача буде розв’язана, якщо такий розв’язок існує в принципі (що буває далеко не завжди).

Ядро символьного процесора системи MathCAD — трохи спрощений варіант ядра відомої системи символьної математики Maple V фірми Waterloo Maple Software, у якої фірма MathSoft (розроблювач MathCAD) придбала ліцензію на його застосування, завдяки чому MathCAD стала (починаючи з версії 3.0) системою символьної математики. Символьні обчислення виконуються настільки ж просто (для користувача), як обчислення квадрата х.

Символьні операції можна виконувати двома способами:

· Безпосередньо в командному режимі (використовуючи операції меню Символи);

· За допомогою операторів символьного перетворення (використовуючи палітру інструментів Символи ).

Розглянемо перший спосіб.

3.1. Виділення виразів для символьних обчислень

Щоб символьні операції виконувалися, процесору необхідно вказати, над яким виразом ці операції повинні виконуватись, тобто треба виділити вираз. Для ряду операцій треба не тільки указати вираз, до якого вони відносяться, але і вказати змінну, щодо якої виконується та чи інша символьна операція. Сам вираз в такому випадку не виділяється.

Таким чином, для виконання операцій із символьним процесором потрібно виділити об'єкт (цілий вираз чи його частину) синіми суцільними лініями.

Символьні операції розбиті на п'ять розділів. Першими йдуть найбільш часто використовувані операції. Вони можуть виконуватися з виразами, що містять комплексні числа чи мають розв’язок в комплексному виді.

3.2. Символьні операції

3.2.1. Операції з виділеними виразами

Якщо в документі є виділений вираз, то з ним можна виконувати різні операції, представлені нижче:

Розрахунки — перетворити вираз з вибором виду перетворень з підменю;

Символічні [Shift] F9 – виконати символьне перетворення виділеного виразу;

З плаваючою точкою – обчислити виділений вираз в дійсних числах;

Комплексні – виконати обчислення в комплексному вигляді;

Спростити — спростити виділений вираз з виконанням таких операцій, як скорочення подібних, приведення до спільного знаменника, використання основних тригонометричних тотожностей і т д.;

Розширити — розкрити вираз [наприклад, для (Х + Y) (Х - Y) одержуємо X ²- Y ²];

Фактор — розкласти чи число вираз на множники [наприклад, X ²- Y ² дасть (Х + Y) (Х - Y)];

Подібні — зібрати доданки, подібні до виділеного виразу, що може бути окремою змінною чи функцією зі своїм аргументом (результатом буде вираз, поліноміальне щодо обраного виразу);

Коефіцієнти Полінома — по заданій змінній знайти коефіцієнти полінома, що апроксимує вираз, у якому ця змінна використана.

3.2.2. Операції з виділеними змінними

Для ряду операцій треба знати, щодо якої змінної вони виконуються. У цьому випадку необхідно виділити змінну, установивши на ній маркер введення. Після цього стають доступними наступні операції підміню Змінні:

Обчислити — знайти значення виділеної змінної, при яких вираз, що містить її, стає рівним нулю;

Заміна — замінити зазначену змінну вмістом буфера обміну;

Диференціали — диференціювати вираз, що містить виділену змінну, по цій змінній (інші змінні розглядаються як константи);

Інтеграція — інтегрувати весь вираз, що містить змінну, по цій змінній;

Розкласти на складові... — знайти кілька членів розкладання виразу в ряд Тейлора щодо виділеної змінної;

Перетворення в Часткові Частки — розкласти на елементарні дроби вирази, що розглядається як раціональний дріб щодо виділеної змінної.

3.2.3. Операції з виділеними матрицями

Операції з виділеними матрицями представлені позицією підменю Матриці, що має своє підменю з наступними операціями:

Транспонування — одержати транспоновану матрицю;

Інвертування — обчислити обернену матрицю;

Визначник — обчислити детермінант (визначник) матриці.

Результати символьних операцій з матрицями часто виявляються надмірно громіздкими і тому погано обчислюються.

3.2.4. Операції перетворення

У позиції Перетворення міститься розділ операцій перетворення, що створює підменю з наступними можливостями:

Фур'є — виконати пряме перетворення Фур'є щодо виділеної змінної;

Фур'є Оберненє — виконати обернене перетворення Фур'є щодо виділеної змінної;

Лапласа — виконати пряме перетворення Лапласа щодо виділеної змінної (результат — функція змінної s);

Лапласа Обернене — виконати обернене перетворення Лапласа щодо виділеної змінної (результат — функція змінної t);

Z — виконати пряме Z-перетворення виразу щодо виділеної змінної (результат — функція змінної z);

Оберненє Z — виконати обернене Z-перетворення щодо виділеної змінної (результат — функція змінної n).

3.3. Стиль представлення результатів обчислень

На наочність обчислень впливає стиль представлення їхніх результатів. Наступна команда дозволяє задати той чи інший стиль:

Стиль Обчислень... — задати вивод результату символьної операції під основним виразом, поруч з ним чи замість нього (Рисунок 9).

Рисунок 9. Стиль Обчислень

3.4. Приклади символьних операцій у командному режимі

Більшість символьних операцій легко виконуються, так що нижче ми зупинимося лише на деяких прикладах. Символьна операція Розрахунки забезпечує роботу з математичними виразами, що містять вбудовані в систему функції і представленими в різному виді: поліноміальному, дрібно-раціональному, у виді сум і добутків, похідних і інтегралів і т.д. (Рисунок 10). Операція прагне зробити всі можливі чисельні обчислення і представити вирази в найбільш простому вигляді. Вона можлива над матрицями із символьними елементами. Похідні і визначені інтеграли, символьні значення яких обчислюються, повинні бути представлені у своїй природній формі.

Особливо слід зазначити можливість виконання чисельних обчислень з підвищеною точністю — 20 знаків після коми. Для переходу в такий режим обчислень потрібно числові константи в об'єктах, що обчислюються, задавати з обов'язковою вказівкою десяткової крапки, наприклад 10.0 чи 3.0, а не 10 чи 3. Ця ознака є вказівкою на проведення обчислень такого типу.

На рисунку 10 показані типові приклади дії операції Розрахунки.

Рисунок 10. Символьні обчислення

Тут ліворуч показані вихідні вирази, що піддаються символьним перетворенням, а праворуч — результат цих перетворень.

Операція Розрахунки одна з самих потужних. Як видно з рисунка 6, вона дозволяє в символьному виді обчислювати суми (і добутки) рядів, похідні і невизначені інтеграли, виконувати символьні і чисельні операції з матрицями.

Ця операція містить підменю. Команда Символьні тут найбільш важлива. Призначення інших команд очевидно: вони потрібні, якщо результат потрібно одержати у формі комплексного чи дійсного числа. Наприклад, якщо ви хочете замість числа p одержати 3.141..., використовуйте команду З коми, що… плаває... У режимі символьних обчислень результат може перевершувати машинну нескінченність системи — див. приклад на обчислення ехр(1000.0) на Малюнку 10. При цьому число точних значущих цифр результату практично не обмежене (чи, точніше кажучи, залежить від ємності ОЗУ).

Операція Розкласти на складові... повертає розкладання в ряд Тейлора виразу щодо виділеної змінної з заданим по запиті числом членів ряду n (число визначається по ступенях ряду). За замовчуванням задане п = 6. У розкладанні вказується залишкова погрішність розкладання. На рисунку 11 представлене застосування цієї операції для розкладання функції . Мінімальна погрішність виходить при малих х (див. графічне представлення функції і її ряду).

Рисунок 11. Розкладання функції в ряд Тейлора

3.5. Оператори обчислення границь функцій

Для обчислення границь функцій у систему введений символьний операторlimit. Крім введення зі складальної панелі Матаналіз, його в трьох формах можна ввести натисканням наступних комбінацій клавіш:

[ Ctrl ] L — введення шаблона оператора обчислення границь функції при х, що прямує до заданого значення,

[ Ctrl ] A — введення шаблона обчислення границі функції ліворуч від заданої точки,

[ Ctrl ] B — введення шаблона обчислення границі функції праворуч від заданої точки.

На рисунку 12 показані приклади обчислення границі. При обчисленні границі потрібно заповнити шаблони, що входять у головний шаблон для обчислення меж, а потім ввести функцію, ім'я змінної, по якій шукається границя, і значення змінної — аргументу функції.

Для одержання результату встановіть після блоку обчислення границі стрільцю з вістрям, спрямованим вправо. Границя (якщо вона існує) буде обчислена і з'явиться в шаблоні у вістря стрілки. Якщо функція не має границі, замість результату з'явиться напис Undefine.

Рисунок 12. Обчислення границі

3.6. Завдання операторів користувача

Ще одна екзотична можливість, властива новим версіям системи MathCAD, — завдання нових операторів користувача. Такий оператор задається практично так само, як функція користувача, але замість імені вибирається який-небудь придатний знак. Наприклад, можна задати оператор розподілу у виді:

- завдання нового оператора розподілу;

— застосування функції розподілу;

— застосування нового оператора розподілу.

При зовнішній простоті такого завдання тут є проблеми. Вбудовані в систему оператори не можна перевизначити. Тому набір доступних знаків для позначення нових операторів обмежений. Не можна задати новий оператор розподілу знаком / (він уже використаний), але можна взяти знак ¸ оскільки цей символ системою не використовується.

Друга проблема пов'язана з введенням символу нового оператора. Скоріш за все, його прямо ввести не можна. Прийдеться скористатися типовими прийомами введення нових символів у документи Windows. Один з цих прийомів — використання додатка, що видає таблицю символів, з можливістю його експорту з цієї таблиці в документ іншого додатка (у нашому випадку — у документ MathCAD).

Можна також скористатися придатним знаком з набору MATH SYMBOL, що є в складі Шпаргалок, доступ до яких дає Ресурс Центр (? Þ Ресурс Центр Þ Довідковий стіл і коротке керівництво Þ Додаткові математичні символи). На Малюнку 8 показаний такий варіант завдання нового оператора користувача. Для перетаскування знака можна скопіювати його в буфер обміну за допомогою операції Копіювати, а потім ввести в документ, використовуючи операцію Вставка.

Після того як оператор заданий, його можна використовувати, як функцію і як оператор. Приклади показані на рисунку 13.

Рисунок 13. Завдання оператора користувача з вибором імені з набору знаків

Для застосування нового оператора треба вивести його шаблон за допомогою панелі математичних знаків (вона також показана рисунку 13). У нашому випадку варто натиснути кнопку цієї панелі — вона виводить особливий шаблон виду§ § §. Введіть операнди, наприклад 6 і 3 у крайні прямокутники, а символ оператора — у середній. Поставивши після цієї конструкції знак рівності, побачите результат — число 2.

Можна задати й інші оператори, наприклад, для роботи з одним операндом. Так, ви можете задати оператор для перерахування значення температури по шкалі Цельсію для того, щоб визначити відповідне йому значення по шкалі Фаренгейта, у такий спосіб

Потім, використовуючи кнопку складальної панелі символів відношень, можна виконувати операцію перерахування у виді.

Є області математики і фізики, де завдання нових операторів необхідно, оскільки є частиною специфічної мови їхнього опису.

3.7. Вправи для самостійної роботи

Вправа 1. Використовуючи операцію Символи Þ Розрахунки Þ З коми, що…,представте:

1) число p у 7 позиціях;

2) число 12, 345667 у 3 позиціях.

Вправа 2. Виведіть наступні числа в комплексній формі, використовуючи операцію Розрахунки Þ Комплексні меню Символи:

1) ;

2) tg (a );

3) ;

4) для виразу 3) послідовно виконаєте операції Розрахунки Þ Комплексні і Спростити меню Символи.

Вправа 3. Для полінома g (x) (див. Таблиця 1) виконати наступні дії:

1) розкласти на множники, використовуючи операцію Символи Þ Фактор;

2) підставте вираз x = y + z у g (x), використовуючи операцію Символи ÞЗмінні Þ Заміна (попередньо скопіювавши вираз, що підставляється, у буфер обміну, виділивши його і натиснувши комбінацію клавіш Ctrl + C);

3) використовуючи операцію Символи Þ Розширити, розкладете по ступенях вираз, отримане в 2);

4) використовуючи операцію Символи Þ Подібні, згорніть вираз, отриманий в 3), по змінній z.

Таблиця 1

Варіанти вправи 3

Вправа 4. Розкладете вираз на елементарні дроби використовуючи операцію Символи Þ Змінні Þ Перетворення в часткові частки:

1) ;	2) ;
3) ;	4) .

Вправа 5. Розкладіть вираз в ряд із заданою точністю, використовуючи операцію Символи Þ Змінні Þ Розкласти на складові:

1) ln (1 + x), х ₀ = 0, порядок розкладання 6;

2) sin (x)², х ₀ = 0, порядок розкладання 6.

Вправа 6. Знайти первісну аналітично заданої функції f (x) (Таблиця 4), використовуючи операцію Символи Þ Змінні Þ Інтеграція.

Вправа 7. Визначити символьне значення першої і другої похідних f(x) (Таблиця 4), використовуючи команду Символи Þ Змінні Þ Диференціали.

Таблиця 4

Варіанти вправ 6 і 7