Центральна гранична теорема

Зміст теореми

Закон великих чисел затверджує, що при n ® ¥

,

де а = Mx_i. Центральна гранична теорема затверджує дещо більше, а, саме, що при цьому прямуванні відбувається нормалізація:

, (5.10)

де , тобто середнє арифметичне при великих n розподілено приблизно за нормальним законом з дисперсією s^2/n; цей факт записують інакше, нормуючи суму:

.

Наведемо формулювання однієї з теорем.

Теорема Ліндеберга. Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових величин x ₁, x _2,..., x_n,... при будь-якому постійному t>0 задовольняє умові Ліндеберга

,

де , , те при n ® ¥ рівномірно відносно x

(5.11)

Наслідок. Якщо незалежні випадкові величини x ₁, x _2,..., x_n,... однаково розподілені і мають скінчену відмінну від нуля дисперсію, то виконується (11).Умова Ліндеберга в цьому випадку, тобто Mx_k=a, Dx_k=s², F_k(x)=F(x), приймає вигляд: при кожнім t > 0 і при n ® ¥

;

Це співвідношення виконується, оскільки інтеграл по всій осі, тобто дисперсія, існує.

Переконаємося статистично в тім, що сума декількох випадкових величин розподілена приблизно за нормальним законом.

6. Однаково розподілені доданки.

6.1. Різнорозподілені доданки

Розглянемо суму

(5.12)

шести (m = 6) незалежних випадкових величин, що мають beta-розподіл з параметрами a=b=0.5, щільність якого

, (5.13)

де - beta-функція. Щільність при обраних значеннях параметрів має U- подібний вигляд, дуже далекий від нормального; переконаємося в цьому, побудувавши графік щільності.

Щоб статистично оцінити закон розподілу для суми S, слід багаторазово, N раз (наприклад, N= 500), промоделювати підсумовування: одержимо S₁, S₂,...,S_N - вибірку для суми; для цієї вибірки побудуємо гістограму і порівняємо її візуально з нормальною щільністю.

6.1. Різнорозподілені доданки

Розподіл суми збігається до нормального закону й у тому випадку, коли доданки розподілені за різними законами.

Завдання 1. Оцінити експериментально розподіл для суми шести доданків, розподілених за різними законами; вибрати їх із сімейства beta-розподілів (5.13), задавши наступні параметри:

a		0.5
b	0.5

Згенерувати вибірку для суми і побудувати гістограму для неї. Переконатися в тім, що розподіл близький до нормального. Роздрукувати гістограми для доданків і для суми.

Якщо ж у сумі (5.12) є доданок, дисперсія якого істотно перевищує всі інші, то наближена нормальність місця не має.

Завдання 2. Перевірити це (одержати гістограму), додавши в (5.12) 7-і доданок, що має beta-розподіл з параметрами a=b=0.5 і помножений на 1000.