![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Условие бесконечной дифференцируемости функции является необходимым, но
недостаточным для разложения функции в степенной ряд. Так, например, функция
бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой, , и тем самым ни
какой окрестности нуля не разлагается в степенной ряд.
Теорема1(достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть ,
. Предположим, что функция
удовлетворяет условиям:
1) ,
2) :
и
.
Тогда
.
Пример 1. Пусть . Тогда
, откуда
.
Поэтому
.
Пример 2. Пусть . Тогда
, откуда
.
Поэтому
.
Пример 3. Пусть . Тогда
. Поэтому для
будем иметь
.
Значит
.
Так как было выбрано произвольно, то
.
Приведенная теорема дает метод разложения функций в ряд Тейлора. Однако условия
этой теоремы не всегда выполняются, или не могут быть просто проверены. Тогда эффективным методом получения разложения является использование свойств степенных рядов и их сумм.
Пример 4. Для
Действительно, если , то
(1)
Пусть фиксировано. Проинтегрируем ряд (1) почленно по промежутку с концами
и
. Получим
,
поэтому
,
. (2)
В силу непрерывности функции имеем
.
При ряд
, имеющий радиус сходимости
, по признаку Лейбница сходится. Поэтому его сумма непрерывна в точке
. Значит
.
Таким образом, (2) справедливо и при .
Пример 5. Для
.
Действительно, . Если
, то
.
На основании теоремы о почленном интегрировании степенного ряда имеем
или
. (3)
Степенной ряд (3) по признаку Лейбница сходится и при . Учитывая непрерывность функции
заключаем, что (3) имеет место и при
. В частности
.
Пример 6. Пусть . Тогда
, (4)
где ;
,
.
Ряд называют биномиальным рядом, а его коэффициенты – биномиальными. ра для функции
,
. Если
- натуральное число
, то коэффициент при
и все следующие коэффициенты обратились бы в
, так как их представление содержало бы множитель
, и в этом случае равенство (4) превращается в формулу бинома Ньютона.
Пусть .Тогда коэффициенты
. Так как
,
то
. Поэтому радиус сходимости биномиального ряда равен
.
Пусть ,
. Покажем, что функция
удовлетворяет уравнению
. (5)
Действительно, , поэтому
. (5)
Умножим (5) на . Получим
.
Отсюда
.
Значит . Так как
, то
, откуда
,
.
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 175 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!