Ряд Тейлора. Обозначим через сумму степенного ряда (1):

Обозначим через сумму степенного ряда (1):

.

Из сказанного выше следует, что функция является бесконечно дифференцируемой на интервале , где -радиус сходимости ряда (1).

Полагая , получаем, что . Так как

,

то, полагая , получаем, что . Так как

,

то, полагая , получаем, что . Рассуждая, таким образом, далее, приходим к тому, что

.

Таким образом, если какую-либо функцию в окрестности точки можно разложить в степенной ряд (представить в виде суммы степенного ряда), то этот ряд единственный.

Определение1. Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале : . Ряд

называется рядом Тейлора (при рядом Маклорена) функции в окрестности точки .