Степенной ряд и его область сходимости

Определение 1.Степенным рядом на зывается функциональный ряд вида

, (1)

или более общо

,

где , , … , … - постоянные вещественные числа.

Степенные ряды наиболее просты в теоретическом отношении и наиболее важны для большинства приложений.

Как и для всякого функционального ряда, мы должны при изучении ряда (1) в первую очередь поставить вопрос о его области сходимости. Форма области сходимости степенного ряда является следствием следующего важнейшего свойства рядов этого класса.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при

любом значении , для которого .

Геометрическая иллюстрация: если степенной ряд сходится в некоторой точке числовой прямой, то в любой точке, более близкой, чем , к точке , он будет сходится абсолютно.