Функциональные свойства суммы степенного ряда

Теорема 1. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке интервала .

Теорема 2 (Абеля). Если степенной ряд (1) сходится при , то сумма

степенного ряда непрерывна в точке .

Теорема 3. Степенной ряд (1) в промежутке с концами и можно

интегрировать почленно:

.

Значение может совпадать и с одним из концов интервала сходимости, если на этом конце ряд (1) сходится. Радиус сходимости полученного степенного ряда совпадает с радиусом сходимости ряда (1).

Теорема 2. Степенной ряд (1) внутри промежутка сходимости можно дифференцировать

почленно, так что

.

Радиус сходимости полученного степенного ряда совпадает с радиусом сходимости ряда (1).

Замечание 1. Теорема 2 открывает возможность многократного дифференцировании

степенного ряда внутри интервала сходимости.