Определенный интеграл, его приложения. Длина дуги кривой. Площадь фигуры

Пусть функция определена на отрезке . Разделим отрезок на n произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида , причем эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого найдется такое число , что при неравенство выполняется при любом выборе чисел .

Определенным интегралом от функции на отрезке (или в пределах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

.

Теорема существования определенного интеграла

Если функция непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки и от выбора точек . Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределом интегрирования. Если на , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (см. рис.).

Рис. 5