Метод интегрирования заменой переменной и по частям

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:

2) Пусть аргументом подынтегральной функции является функция , тогда обозначим , где новая переменная.

Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример 1. Найти .

Решение. Пусть (можно положить ). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

.

Пример 2. Найти интегралы методом замены переменной:

Решение. а) Пусть , тогда

Имеем:

Если дифференцируемые функции, то справедлива формула:

(1)

Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде так, что стоящий в правой части равенства (1) интеграл при надлежащем выборе выражений u и dv может оказаться проще исходного интеграла.

При этом следует иметь в виду, что к u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. Формула (1) может применяться неоднократно.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида где многочлен, k – число. Удобно положить , а за обозначить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида Удобно положить , а за u обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида , где а и b – числа. За u можно принять функцию .

Пример 3. Найти .

Решение. Пусть . Поэтому

Пример 4. Найти

Решение. Пусть . Поэтому

Выполнить задания:

1) Вычислить интегралы с помощью замены переменной:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; e) ;

ж) ; з) ;

и) .

2) Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) ;

в) .