Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1) , где монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:
2) Пусть аргументом подынтегральной функции является функция , тогда обозначим , где новая переменная.
Формула замены переменной при такой подстановке:
Пример 1. Найти .
Решение. Пусть (можно положить ). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:
.
Пример 2. Найти интегралы методом замены переменной:
Решение. а) Пусть , тогда
Имеем:
Если дифференцируемые функции, то справедлива формула:
(1)
Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде так, что стоящий в правой части равенства (1) интеграл при надлежащем выборе выражений u и dv может оказаться проще исходного интеграла.
При этом следует иметь в виду, что к u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. Формула (1) может применяться неоднократно.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида где многочлен, k – число. Удобно положить , а за обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида Удобно положить , а за u обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида , где а и b – числа. За u можно принять функцию .
Пример 3. Найти .
Решение. Пусть . Поэтому
Пример 4. Найти
Решение. Пусть . Поэтому
Выполнить задания:
1) Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; e) ;
ж) ; з) ;
и) .
2) Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:
а) ;
б) ;
в) .
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 146 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!