Определение 6.1

Пусть – линейное нормированное пространство над полем линейный оператор называется линейным функционалом.

Линейный функционал – это частный случай линейного оператора, поэтому для него справедливо все то, что сообщали о линейных операторах предыдущие параграфы этого раздела.

Линейный функционал называется ограниченным, если а число называется нормой линейного ограниченного функционала.

Множество всех линейных ограниченных функционалов обозначается символом , оно является полным линейным нормированным пространством (короче, банаховым пространством) и называется сопряженным пространством к пространству

Классическим примером линейного функционала является определенный интеграл:

Вычислим его норму:

При все неравенства в этой цепочке обращаются в равенства, поэтому

Теорема 6.2 (теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала)

Пусть – линейное нормированное пространство, – замкнутое линейное подпространство и пусть имеется линейный ограниченный функционал Тогда его можно продолжить на все пространство т.е. существует такой линейный ограниченный функционал что и

Теорема 6.3 (теорема Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве)

Пусть – гильбертово пространство, Тогда существует единственный элемент такой что Причем

Доказательство

Докажем существование такого представления.

Рассмотрим ядро линейного функционала – линейное подпространство Если то это значит, что тогда положим

Если то Используя линейность функционала докажем, что при любом

Тогда а это значит, что

Осталось обозначить и представление линейного функционала в виде готово.

Докажем единственность этого представления.

Предположим, что Тогда и в частности, а это может быть только в случае (см. первую аксиому скалярного произведения).

Докажем равенство норм

Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем оценку для нормы функционала:

При неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство, поэтому

Теорема доказана

В частности, теорема Рисса утверждает, что все линейные ограниченные функционалы в пространстве имеют вид а все линейные ограниченные функционалы в пространстве имеют вид

Рассмотрим пример применения теоремы Рисса для вычисления нормы линейного функционала в гильбертовом пространстве:

По теореме Рисса, должен существовать такой элемент что Нетрудно догадаться, что Тогда

Следствие 6.4 теоремы Рисса

Любое гильбертово пространство является самосопряженным, т.е. изоморфно

Изоморфизм строится элементарно: каждому функционалу взаимо-однозначно сопоставляется элемент такой что