Лекция 12 . Формула Тейлора 2

П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши)

Пусть даны функции ,

, определенные на отрезке

, имеющие непрерывные производные до порядка

на интервале

, причем

1)

(производные в точке a правые)

2)

,

3)

, для

.

Тогда существует

, для которого

.

ДОК. Применим последовательно теорему Коши: существует

:

.

На отрезке

выполняются условия теоремы Коши и существует

, для которого

. Продолжая, на отрезке

существует точка

, для которого

.

ТЕОРЕМА 2. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)

Пусть функция

непрерывна и имеет непрерывные производные до (n+ 1) порядка на конечном отрезке

. Тогда существует

, для которого

, где

(остаточный член в форме Лагранжа).

ДОК. Применим обобщенную теорему Коши для функций

и

. Условия теоремы проверялись для функции

(см. пример) и очевидны для функции

. Тогда существует точка

, для которой

.

П.2 Интервалы монотонности.

ОПР. Функция возрастает в точке

, если

для любых достаточно малых

, т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции и уменьшению аргумента (

) соответствует уменьшение значения функции (

).

ОПР. Функция убывает в точке

, если

для любых достаточно малых

, т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют отрицательные приращения функции и уменьшению аргумента (

) соответствует увеличения значения функции (

).

ОПР. Интервал

называется интервалом возрастания (убывания) функции

,если каждая его внутренняя точка является точкой возрастания (убывания) функции.

ТЕОРЕМА 3. (ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ функции на интервале)

Пусть функция

дифференцируема на интервале

и (

),

. Тогда функция

строго возрастает (убывает) на интервале

.

ДОК. (1) Пусть

. Тогда по теореме о среднем Лагранжа существует

, для которого

.

(2) для убывания по аналогии.

Таким образом, интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее производной. Для их нахождения необходимо найти производную функции, приравнять ее нулю и найти точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки, называемые критическими, являются границами интервалов монотонности. Если на одном из них производная , то это интервал возрастания функции, в противном – интервал убывания. Точка, в которой

, может служить границей противоположных интервалов монотонности или, например, двух интервалов возрастания, которые можно объединить в один.

ПРИМЕР 1. Функция

строго возрастает на R, но имеет точку

критической.

П.3. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия.

Понятия локального экстремума (максимума или минимума) можно сформулировать в терминах приращения функции: функция

имеет в точке

строгий локальный максимум, если ее приращение

для любых достаточно малых

. Для локального минимума знак неравенства противоположный. Для не строгого локального максимума знаки неравенства не строгие.

ТЕОРЕМА 4.(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА)

Пусть в точке

функция

имеет локальный экстремум. Тогда либо

, либо производной в точке

не существует.

ДОК. (1) для максимума. Если производной в точке

нет, то теорема доказана. Если производная существует, то и

, т.е.

.

(2) для минимума (по аналогии).

ПРИМЕР 2. Функция

имеет в точке строгий локальный минимум, хотя в точке

производной у функции нет.

ТЕОРЕМА 5. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по первой производной)

Пусть точка a является границей двух интервалов монотонности

и

, функция

непрерывна в точке

, причем

(1) интервал

является интервалом возрастания, а

- интервалом убывания функции. Тогда в точке

функция имеет локальный максимум.

(2) интервал

является интервалом убывания, а

- интервалом возрастания функции. Тогда в точке

функция имеет локальный минимум.

ДОК. (1) Из непрерывности функции в точке

и монотонного роста функции на интервале

следует, что

и

для

. Аналогично,

и

для

. Тогда

для достаточно малых

. Если предположить строгую монотонность на интервалах

и

, то экстремум будет строгим.

ТЕОРЕМА 6. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по второй производной)

Если точка

критическая и существует

, то в точке

функция имеет локальный минимум, если , и локальный максимум, если

.

ДОК. Заметим, что в условиях теоремы

. Разложим функцию

по формуле Тейлора в окрестности точки

:

.

Тогда в малой окрестности точки

, приращение

сохраняет знак производной

. Если

, то

для достаточно малых значений

, т.е. в точке

локальный минимум. Если

, то

для достаточно малых

и в точке

- локальный максимум. Последняя теорема обобщается на случай производных более высоких порядков.

ТЕОРЕМА 7. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по производной четного порядка)

Если в точке

производные

,

,

то в точке

функция имеет локальный минимум, если

и максимум, если

.

ДОК. Воспользуемся формулой Тейлора:

. Тогда знак приращения

определяется знаком производной

.

УПРАЖНЕНИЕ. Каково поведение функции в окрестности точки

, если

, а

?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Обобщенная теорема Коши и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

2) Возрастание функции в точке и на интервале. Теорема о достаточном условии возрастания функции на интервале. Нахождение интервалов монотонности.

3) Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной.

4) Достаточное условие экстремума по второй производной и четной производной.