Лекция 7. Непрерывные функции

П1. Непрерывность функции в точке.

ОПР. Функция

непрерывна в точке

, если

.

ОПР. (эквивалентное).Функция

непрерывна в точке

, если ее приращение D

- бесконечно малая функция в точке

.

(здесь

)

ДОК. Эквивалентность определений следует из теоремы о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.

ПРИМЕРЫ.

(1) Доказать непрерывность функции

в точке

.

РЕШЕНИЕ.

, поскольку

.

(2) Доказать, что функция

разрывная в точке

и непрерывна в любой точке

.

РЕШЕНИЕ.

, т.е. функция не является непрерывной в точке

.Пусть

. Тогда

. Функция

- ограничена в окрестности точки

. Функции

и

бесконечно малые в точке

, поэтому

, т.е. функция

непрерывна в точке

.

ТЕОРЕМА 1. (арифметическая теорема о непрерывных функциях)

Пусть функции и

непрерывны в точке . Тогда сумма

, произведение

и частное

,

непрерывные функции в точке

.

ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах.

ОПР. Пусть заданы две функции и

, точка

. Тогда функция

, определенная по правилу

, называется композицией функций f и g или сложной функцией.

ПРИМЕР. Функция

сложная и является композицией функций

и

,

.

ТЕОРЕМА 2. (о непрерывности сложной функции)

Если функция

непрерывна в точке

, функция

непрерывна в точке

, то сложная функция

непрерывна в точке

.

ДОК. Из условия теоремы

и

.

Тогда

и

.

П 2. Непрерывность функции на отрезке.

ОПР. Функция

непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

ОПР. Функция

ограничена на отрезке [a;b], если

.

ТЕОРЕМА 3. (1- я теорема Вейерштрасса)

Всякая непрерывная функция

на отрезке ограничена на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция

на отрезке [a;b] неограниченна ®

. Последовательность

ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка

. Поскольку функция

непрерывна в точке c, она ограничена в окрестности этой точки (теорема об ограниченности функции, имеющей предел),

т.е.

. Тогда в окрестности

может находиться не более конечного числа членов последовательности , что противоречит тому, что c – предельная точка последовательности

.

Доказано, что множество

значений функции

ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует

и

.

ОПР. Если

, то А называется наименьшим значением функции

на отрезке [a;b].

Обозначение

.

ОПР. Если

, то В называется наибольшим значением функции

на отрезке [a;b].

Обозначение

.

ТЕОРЕМА 4.(2 – я теорема Вейерштрасса)

Непрерывная функция на отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения.

ДОК. (1) Пусть

. Тогда, по определению точной нижней грани,

. Последовательность

ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c 1

. Тогда у нее есть подпоследовательность

, для которой

и по теореме о промежуточной последовательности

.

Поскольку функция

непрерывна в точке

,

, т.е.

.

(2) Пусть

. Тогда, по определению точной верхней грани,

. Последовательность

ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c 2

. Тогда у нее есть подпоследовательность

, для которой

, и по теореме о промежуточной последовательности

. Поскольку функция

непрерывна в точке

,

, т.е.

.

ТЕОРЕМА 5.(о нуле непрерывной функции)

Пусть

непрерывная функция на отрезке

, причем

. Тогда существует точка

.

ДОК. Разобьем отрезок

пополам. Если , то теорема доказана. Если

, то выберем тот из отрезков разбиения, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через . Повторим процесс деления: выберем тот из отрезков разбиения отрезка

, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок

и т.д. Построенная последовательность вложенных отрезков – стягивающаяся. По теореме о системе стягивающихся отрезков существует точка

, принадлежащая каждому из отрезков

. Если

, то из непрерывности функции

следует, что

сохраняет знак в некоторой окрестности

, что противоречит способу построения последовательности отрезков

, т.е.

.

ТЕОРЕМА 6. (о структуре области значений непрерывной функции на отрезке)

.

ДОК. Пусть С произвольное число из отрезка

:

. Требуется доказать, что

. Рассмотрим функцию:

. Она непрерывна на отрезке

,

и

т.е. на концах отрезка

функция

принимает значения разных знаков и, по доказанному в теореме 5, у нее есть ноль на этом отрезке:

.

П3. Равномерная непрерывность.

ОПР. Функция

равномерно непрерывна на

множестве Х, если

Из непрерывности функции на некотором множестве Х не следует ее равномерная непрерывность.

ПРИМЕР. Доказать, что функция

непрерывная на множестве

не является на нем равномерно непрерывной.

РЕШЕНИЕ.

разность

может быть сделана как угодно большой за счет удаленности

от начала координат.

ТЕОРЕМА 6 (Гейне, о равномерной непрерывности функции на отрезке)

Всякая функция

непрерывная на отрезке

равномерно непрерывна на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция не является равномерно непрерывной. Тогда существует

такое, что для любого

существуют и

такие, что

, для которых

при любых

. Последовательности и

ограничены и по теореме Вейерштрассе из них можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, причем по построению

. По условию теоремы функция

непрерывна в точке

, поэтому существует

:

и

.

Тогда

,

что противоречит выбору последовательности и

, т.е. функция равномерно непрерывна.

ОПР. Функция

называется колебанием функции

на множестве Х.

Равномерная непрерывность функции на множестве Х означает, что для нее

.

УПРАЖНЕНИЯ.

(1) Докажите, что кубическое уравнение всегда имеет корень.

(2) Докажите, что функция

непрерывна в точке

.

(3) Приведите пример непрерывной неограниченной на интервале

функции.

(4) Докажите, что

1)

2)

для

3)

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Непрерывность функции в точке. Арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность сложной функции.

2) Непрерывность функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

3) Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на отрезке.

4) Теорема о нуле непрерывной функции.

5) Теорема о структуре области значений непрерывной функции.

6) Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной непрерывности функции на отрезке.