Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных

П.1 Локальный экстремум функции.

ОПР. Точка

называется точкой локального максимума функции

, определенной в некоторой окрестности

, если

. Если неравенство строгое для всех

, то говорят о строгом локальном максимуме.

ОПР. Точка

называется точкой локального минимума функции

, определенной в некоторой окрестности

, если

. Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном минимуме. Если функция имеет в точке

локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме функции.

ПРИМЕР 1.(не характерный)

Функция

имеет, по определению, в точке

строгий локальный максимум, поскольку

, не смотря на то, что убывает в левосторонней окрестности и возрастает в правосторонней окрестности точки

. Следующая теорема устанавливает необходимые условия локального экстремума.

ТЕОРЕМА 1. (Ферма)

Если функция

в точке

имеет локальный экстремум, то либо функция не имеет производную в точке

, либо эта производная равна нулю.

ДОК. (1) Если производной в точке

нет, то теорема доказана (см. пример 1). (2) Пусть производная

существует и

. Тогда

и знак

для достаточно малых

определяется знаком выражения

, а он меняется в зависимости от знака

. Последнее противоречит условию локального экстремума в точке

, т.е.

.

П.2 Теоремы о среднем для производных.

ТЕОРЕМА 2. (Ролля)

Если функция

1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), 3) принимает на концах отрезка равные значения:

,

то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой

.

ДОК. По доказанной теореме непрерывная на [a;b] функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения:

и

. Если одна из точек c1или c2лежит на интервале (a,b), то теорема доказана, поскольку эта точка является точкой локального экстремума и по теореме 1

. Если или

, но они совпадают с концами отрезка, то

и функция постоянная на отрезке[a;b] и

.

ПРИМЕР 2. Функция

на отрезке

удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного: в точке

функция не имеет производную. При этом утверждение теоремы не выполняется:

для

и

для

.

ТЕОРЕМА 3. (Коши)

Если функции и

1) непрерывны на отрезке [a;b], 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)

на интервале

,

то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой

.

ДОК. Из условия теоремы следует, что . Действительно, если

, то функция

удовлетворяет условиям теоремы Ролля и тогда найдется такая точка c, для которой

, что противоречит условию 3) теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Проверим, что

. Действительно,

и функция

удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда найдется

, для которой

.

Из последнего равенства следует утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 4 (Лагранжа)

Если функции

1) непрерывна на отрезке [a;b],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), то существует на интервале (a;b) такая точка c, для которой

.

ДОК. Следует из теоремы Коши для

.

П.3 Следствия из теорем о среднем.

ТЕОРЕМА 5. (правило Лопиталя для раскрытия неопределенности

)

Если функции и

1) непрерывны на [a;b), (а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)

на интервале

,

4)

, 5) существует

,

то существует

.

ДОК. Для любого

на отрезке

выполняются условия теоремы Коши и найдется

, для которого

.Если

, то

и

=

.

В теореме допускается случай

.

ТЕОРЕМА 6. (правило Лопиталя для раскрытия неопределенности

)

Если функции и

1) непрерывны на [a;b), (а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)

на интервале

,

4)

,

,5) существует

.,

то существует

.

ДОК. (1) Пусть А – конечное число. Тогда

.Определим функцию

из условия

, т.е.

Заметим, что

.(условие 5)) Применим для отрезка

и функций

теорему Коши. Тогда для некоторой точки

:

и для всех x, для которых

имеем

т.е.

.

(2) Пусть

. Тогда

.

Если x достаточно близок к a, то из

следует

и

.

УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть

определена на отрезке

и при любых

из этого отрезка выполняется неравенство:

,

. Доказать, что функция

постоянная.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Локальный экстремум функции, теорема Ферма.

2) Теоремы о среднем для производных. Теорема Ролля.

3) Теоремы о среднем для производных. Теорема Коши.

4) Теоремы о среднем для производных. Теорема Лагранжа. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей

.

5) Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей

.