Лекция 9 . Производная функции 2

П.1 Производная обратной функции.

ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)

Пусть

непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке

производную

. Тогда обратная функция

имеет производную в точке

и

.

ДОК.

=

.

П.2 Производная сложной функции.

ТЕОРЕМА 2. (производная сложной функции)

Пусть функция

, определенная и непрерывная в окрестности

, имеет производную в точке

. Функция

определена и непрерывна в окрестности

, где

, и имеет производную в точке

. Тогда сложная функция

имеет производную в точке

и

.

ДОК.

,

где

и

б.м.ф. Тогда

и

, где

б.м.ф. в точке

.

Тогда

.

П.3 Таблица производных элементарных функций.

(1)

(2)

. (3)

(4)

(5)

.

6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

ДОК.

(10)

(11)

.

(12)

(13)

(1)

(2)

=

.

(3)

.

(4)

.

(6)

.

(7)

(8)

(9)

(5) – самостоятельно.

П.4 Дифференциал функции.

ОПР. Функция

называется дифференцируемой в точке

, если ее приращение можно представить в виде:

, где

- б.м.ф. в точке

.

ОПР. Главная линейная часть приращения, величина

, называется дифференциалом функции

в точке

.

ТЕОРЕМА 3.

Существование производной функции

в точке

является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости.

ДОК. (1) Пусть функция

дифференцируема. Тогда

и

.

(2) Если функция

имеет производную

, тогда по теореме о связи

, где

б.м.ф., т.е.

, при

.

СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции

имеет вид

.

Функция

имеет производную, равную 1, поэтому

. Тогда

.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции

в точке

, имеет вид:

.

Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на

равно

, т.е. значению дифференциала

.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.

Если

- функция независимой переменной y, то ее дифференциал имеет форму

. Если сложная функция и

, то

,

т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.

П.5 Арифметические операции с дифференциалами.

(1)

(2)

.

(3)

П.6 Производная и дифференциал функций, заданных параметрически.

Функцию

можно задавать с помощью двух отображений

и

композицией

. Такую функцию записывают в форме

,

. Существование

может обеспечить, например, строгая монотонность функции

.

ПРИМЕР 1. Функция

на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически:

,

. Тогда

.

ТЕОРЕМА 4.(о дифференцируемости функции заданной параметрически)

Пусть функция

задана параметрически

,

, причем

- дифференцируемые на отрезке

функции и .Тогда в каждой точке x, соответствующей значению t, т.е.

, существует производная

, равная

и дифференциал

.

ДОК. (1)

.

(2)

.

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Постройте для функции

, определенной на

, обратную функцию и найдите ее производную.

2) Неявную функцию, заданную уравнением

, записать в параметрической форме и найти ее производную в точке

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Теорема о производной обратной функции.

2) Теорема о производной сложной функции.

3) Таблица производных элементарных функций.

(с доказательством)

4) Дифференцируемость функции, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.

5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.

6) Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.