Лекция 11 . Формула Тейлора

П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,

.

ПРИМЕРЫ Доказать, что

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1

2) предположение

. Тогда

.

ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:

,

.

.

ОПР. Дифференциалом второго порядка функции, называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,

.

Так

.

В общем случае,

ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.

ДОК. Если сложная функция получена композицией функций и

, то

и

.

Если y – независимая переменная, то

, т.е. форма второго дифференциала неизменна, если

, в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.

ПРИМЕР. (Бином Ньютона)

Найдем коэффициенты многочлена

.

Заметим, что

коэффициенты бинома Ньютона. Тогда

.

П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.

ПРИМЕР. (многочлен Тейлора)

Для каждой функции

, имеющей n производных в точке

, можно написать многочлен Тейлора:

.

Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции

в точке

. Разность

называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции

:

1)

, поскольку

.

2)

, для

т.к.

.

3)

.

ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)

Если существует производная

,то

.

ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:

.

П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.(

)

(1)

,

(2)

,

(3)

,

(4)

,

(5)

,

(6)

,

(7)

ДОК. (2)

.

(3)

,

,

,

(1)

(4)

,

,

,

.

П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.

ТЕОРЕМА 2.

Пусть

бесконечно малая функция в точке

и ее производные

существуют в точке

до порядка n, причем

, а

. Тогда



.

ДОК. По формуле Тейлора

=

.

П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций.

.

(1)

~

(2)

~

(3)

~

(4)

~

(5)

~

(6)

~

(7)

~

(8)

~

ДОК. (3)

,

,

.

(4)

,

,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.

2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

3) Формула Тейлора для элементарных функций

(с доказательством).

4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.