Лекция 5. Предел функции

Рассмотрим функцию

и точку

такую, что

. В частности, точка

может быть внутренней точкой для E:

.

ОПР.(КОШИ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

.

ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

Множество V на числовой оси называется открытым, если

. Любое открытое множество V(a), содержащее точку a, называют окрестностью точки a.

ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ) Число А называется пределом функции

в точке

, обозначение

, если

.

ТЕОРЕМА 1 Определения по Гейне и по Коши предела функции в точке эквивалентны, т.е. если число А является пределом функции по Коши, то оно же является пределом по Гейне и

наоборот.

ДОК. (1) Пусть

по Коши:

.

Пусть

произвольная последовательность, для которой

.Тогда

, т.е.

.

(2) Пусть

по Гейне.

Предположим, что число А не является пределом функции

по Коши. Тогда

.

Построенная последовательность

сходящаяся и

. Тогда

. Полученное противоречие доказывает, что число А является пределом функции по Коши.

ОПР. Функция

называется ограниченной в окрестности

, если существует число М, для которого

.

ТЕОРЕМА 2. Если функция

имеет предел в точке, то она ограничена в окрестности этой точке.

ДОК. Из определения предела, следует для

существует

такая, что

.

ТЕОРЕМА 3.(о единственности предела)

Если функция

имеет предел в точке

, то он только один.

ДОК. Предположим противное: Числа А и В являются пределами функции, причем

. Выберем

, тогда существует окрестность

, для которой

.

Тогда

, что противоречит выбору числа

.

ТЕОРЕМА 4. (о переходе к пределу в неравенстве)

Пусть функции

и

имеют пределы

А и В в точке

и

, для всех

.

Тогда

.

ДОК. Предположим противное:

. Выберем

. Тогда существует окрестность

, для которой

,

что противоречит условию теоремы.

ТЕОРЕМА 5 (о знаке функции в окрестности точки)

Если

, то существует

для которой

.

ДОК. Выберем любое

. Тогда по определению предела, найдется

, для которой

.

ТЕОРЕМА 6. (о промежуточной функции)

Пусть для трех функций, определенных в

, справедливо неравенство: 1)

и 2)

. Тогда

.

ДОК.

т.е.

.

ОПР. Функция

, определенная в окрестности

, удовлетворяет критерию Коши, если

.

ТЕОРЕМА 7. Для того, чтобы функция

, определенная в окрестности

, имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в окрестности точки a.

ДОК. (1) Пусть

. Тогда

и

(2) Пусть функция удовлетворяет критерию Коши и

- произвольная последовательность,

, для которой

. Тогда

и последовательность

- фундаментальная. По доказанному, (для последовательностей) существует число А, для которого

. Пусть

другая последовательность, для которой

.Тогда последовательность

также фундаментальная и поэтому сходящаяся. Пусть

.

Если

, то последовательность

также сходящаяся:

, но последовательность

не может быть сходящейся (у нее по крайней мере два частичных предела А и В), хотя она фундаментальна. Источником полученного противоречия явилось предположение о том, что

, поэтому А=В и функция имеет предел по Гейне, равный А.

ОПР. Функция

называется бесконечно малой функцией в точке a, если

.

ОПР. Функция

называется бесконечно большой функцией в точке a, если

.

ТЕОРЕМА 8. (о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функцией)

Для того, чтобы функция

имела предел в точке a равный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление:

, где

бесконечно малая функция в точке a.

ДОК. (1) Если

, то функция

б.м.ф. Действительно,

(2)

.

ТЕОРЕМА 9. (о связи между бесконечно большой и малой функциями)

Если

бесконечно большая функция в точке a, то функция

- бесконечно малая в этой точке. Если функция

- бесконечно малая функция в точке a и

то функция

- бесконечно большая в этой точке.

ДОК. (1)

(2)

.

ТЕОРЕМА 10 (арифметические теорема о бесконечно малых)

Если

и

- бесконечно малые функции в точке a, то

+ - также б.м. Если - ограниченная в окрестности точки a функция, то

- б.м.ф.

ДОК. (самостоятельно)

ТЕОРЕМА 11. (арифметическая теорема о пределах)

Если

,

, то

(1)

(2)

(3)

.

ДОК. (2) По теореме о связи

,

, где функции

и

- бесконечно малые функции. Тогда

,

где

бесконечно малая функция (теоремы 1 и теорема 10).

(1) и (3) самостоятельно или со ссылкой на соответствующую теорему для последовательностей.

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Верно ли утверждение: произведение б.м.ф. на б.б.ф. есть ограниченная функция? 2) Может ли функция в одной точке быть б.м., а в другой – б.б.ф? 3) Всегда ли сумма двух бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1) Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность.

2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3) Теорема об единственности предела функции.

4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

5) Теорема о промежуточной функции.

6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции.

7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций.

8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями.

9) Арифметическая теорема о пределах функций.

Лекция 6. Предел функции 2.

П1. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

.

ДОК. (см. рис) Для всех

справедливы неравенства:

(

- длина дуги АВ1, а

- длина дуги катета АВ) и

.

Функция

б.м.ф. в точке

и поэтому, на основании теоремы о промежуточной функции,

также б.м.ф.Тогда из теоремы о связи

.

Площадь D ОАВ

, площадь сектора АОВ1

, площадь DОА1В1

.Справедливо неравенство: площадь D ОАВ< площадь сектора ОАВ< площадь DОА1В1





.

По доказанному

, поэтому на основании теорем о промежуточной функции и арифметической теореме о пределах

.

ПРИМЕР. Вычислить

.

РЕШЕНИЕ.

.

П.2 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ.

.

ДОК. (1) Пусть

произвольная последовательность,

,для которой

.

Тогда

и для каждого n найдутся натуральные числа

или

. Справедливо неравенство

.

Последовательности

и

сходятся к числу e, поэтому на основании теоремы о промежуточной последовательности

по Гейне, а значит и по Коши.

(2) Пусть

- произвольная последовательность,

, для которой

.Обозначим

. Тогда

.

Обозначим

.Тогда

и

. Из доказанного в (1) следует, что

.

СЛЕДСТВИЯ (1)

.

ДОК.

(2)

.

ДОК. Замена

.

.

П 3. Сравнение функций.

ОПР. (О – большое) Рассматриваются функции

. Говорят, что функция

есть

О-большое от функции

в окрестности точки

,

обозначение

, если

.

ПРИМЕР.

в окрестности точки

. РЕШЕНИЕ.

.

Если

в окрестности

, то условие

равносильно ограниченности функции

в окрестности точки

. Последнее выполняется, например, если существует

.

ОПР. (о – маленькое)

Функция есть о-малое от функции

в окрестности точки

, обозначение

, если

.

о(1) – бесконечно малая функция Ы

.

ПРИМЕР. Алгебра о- малых.(в точке x = 0)

(1)

(2)

(3)

, где

- б.м.ф. (4)

РЕШЕНИЕ. (1)

(2)

.

(3)

Ю

, б.м.ф.

(4)

Ю

Ю

.

ОПР. Бесконечно малые в точке

функции и

называются эквивалентными, если

.

Обозначение

~

. Отношение эквивалентности транзитивно:

~ , ~

, то

~

и симметрично:

~ ®

~

.

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ в точке x = 0.

(1)

~

(2)

~

, (3)

~

, 4)

~

,

(5)

~

, 6)

~

, (7)

~

,

(7)

~

,(8)

~

, (9)

~

ДОК. Формулы (1)- (3), (6), (8) уже обсуждались, (7) и (9) получаются из них переходом к основанию e, сделав замену

и

, (5) – аналогично, (10)

~

~

.

ТЕОРЕМА 1 (о замене бесконечно малой на эквивалентную)

Если бесконечно малые функции

~

,

~

в точке

, и существует

, то

.

ДОК.

.

ТЕОРЕМА 2. (о связи эквивалентных бесконечно малых)

Если две бесконечно малые функции

и

эквивалентны в точке

, то

. Если бесконечно малые функции

и

связаны соотношением

,то они эквивалентны.

ДОК.(1)

(2)

.

П 4. Пределы на бесконечности. Односторонние пределы.

ОПР. Функция

имеет предел на бесконечности, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел в точке

справа, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел в точке

слева, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел на

, обозначение

, если

.

ОПР. Функция

имеет предел на

, обозначение

, если

.

УПРАЖНЕНИЯ 1) Сформулируйте понятие

.

2) Сформулируйте понятие

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Первый замечательный предел.

2) Второй замечательный предел и его следствия.

3) Понятия

и

. Примеры.

4) Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых функций (с доказательством).

5) Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную.

6) Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций.