Простейшие матричные уравнения и их решения

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неиз­вестных:

А = .

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

В = , X = .

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему урав­нений можно записать так:

= или АХ = В.

Это равенство называется простейшим матричным уравне­нием.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матри­ца А — невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

А^-1(АХ) = А^-1В.

Используя сочетательный закон умножения, перепишем это ра­венство в виде

(А^-1А)Х = А^-1В.

Поскольку А^-1А = Е и ЕХ = Х, находим

Х = А^-1В.

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1°. Найти обратную матрицу А^-1.

2°. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу-столбец свободных членов В, т. е. А^-1В.

3°. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

1. Решить матричное уравнение Р е ш е н и е. 10. Будем искать обратную матрицу А-1. Найдем определитель матрицы А: D = ≠ 0. Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А: А11 = 4; А12 = - 3; А21 = - 2; А22 = 1. Запишем матрицу , транспонируем ее: . Учитывая, что 1/ D = - 1 / 2, запишем обратную матрицу: А-1 = . 20. Умножая матрицу А-1 на матрицу В: Х = А-1 В = . 30. Так как , то по определению равных матриц получим х1 = 3, х2 = 2.