Различные расстояния в пространстве

1) Расстояние от точки до плоскости.

Найдем расстояние от т. М₀ (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax+ By+ Cz+ D=0. Рассмотрим от точки до плоскости это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем через М₀ прямую перпендикулярную плоскости. т. N₀ равна прямой пересекающей плоскость.

а) Составим параметрические уравнения прямой

l= N= (A, B, C) ║прямой

т. М₀ (x₀, y₀, z₀) Є прямой

x= At+ x₀

y= Bt+ y₀

z= Ct+ z₀

б) т. N₀ – общая для прямой и плоскости, поэтому подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем параметр, соответствующий т. N₀.

A(At+ x₀) + B(Bt+ y₀) + C(Ct+ z₀) + D=0

(A²+ B²+ C²)t+ Ax₀+ By₀+ Cz₀+ D=0

,

координаты т. N₀

в)

- расстояние от точки до плоскости.

Пр. Найти расстояние от точки до плоскости, когда дано т. М₀ (1, -1, 2), плоскость α 3x- y+ z- 1=0.