Лекция 3. Прямая на плоскости

Аналогично тому, как выводились канонические уравнения от прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.

М (х, у)

М₀М ║l, отсюда следует, что - каноническое уравнение прямой на плоскости, где l=(m, n)- направляющий вектор прямой.

x= mt+ x₀

y= nt+ y₀- параметрические уравнения прямой на плоскости.

M₁M║M₁M₂, отсюда следует, что - уравнение прямой через две точки плоскости.

Если в каноническом уравнение , знаменатели m≠ 0, n≠ 0, то можно освободиться от знаменателей , , , - общее уравнение прямой на плоскости.

N= (A, B)- нормаль, перпендикулярная прямой

Проверка: N= (A, B)= (n, -m)

l= (m, n)

N·l= m· n- n· m= 0

N ^ l, отсюда следует, что N ^ прямой

Исследуем общее уравнение

1) А=0, B и С≠ 0

нет х, прямая параллельна ОХ

y= const- уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) В=0, А и С≠ 0

нет у, прямая параллельна ОУ

х= const- уравнение прямой параллельной оси ОУ

3) С=0, А и В ≠ 0

Ах+ Ву= 0, т. О с координатами (0, 0) принадлежит прямой, прямая проходит через начало координат.

4) у=0- уравнение ОХ, х=0- уравнение ОУ

Пусть прямая отсекает на координатных осях отрезок a на ОХ и b- на ОУ.

Прямая проходит через две точки A(a, 0) и В(0, b), уравнение

, , b(x-a)= -ay, bx- ab+ ay=0, bx+ ay- ab=0, bx+ ay= ab│: ab,

- уравнение прямой в отрезках.

Если в канонические уравнения , m≠ 0, выразим у.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом (k)

Выясним смысл k и b. Из треугольника tg α= , tg α= k.

Угловой коэффициент прямой равен tg угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. Так как y(0)= b, b- отрезок, отсекаемой прямой на оси ОУ.

Через любую точку плоскости проходит бесконечное множество прямых.

Такое множество прямых, проходящих через точку называется пучком прямых.

Уравнение пучка прямых: .

Задавая различные значения угловых коэффициентов k можно выбирать различные прямые из пучка.

Пр. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой