Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Дана система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є линейному пространству L.

Опр. Вектор α₁ а₁+ α₂ а₂+…+ α_n а_n Є L, где α_i (i = 1,…,n)- числа, называется линейная комбинация векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n.

Опр. Система векторов линейного пространства а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n а_n=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты α ₁ =α ₂ =α ₃ =α _n=0.

Опр. Система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α_1, α₂ ,α₃ … α_n не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α₁ а₁+ α₂ а₂+…+ α_n а_n= 0.

Пр. 1) Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

2) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0

а₁ α₁ а₁

Вывод: Два не нулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

3 ) а₁ ║а₂

а1

а2

Вывод: Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.