Теорема о разложении вектора по базису

Опр. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом в ЛК базисных векторов этого пространства.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l₁, l₂,...,l_n, вектор а Є ЛП. Система векторов l₁, l₂,...,l_n, а, отсюда следует, что система ЛЗ, т.е. линейная комбинация α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n+α_n+1a = 0, есть ≠ 0 коэффициент.

Покажем, что коэффициент α_n+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что α_n+1 = 0, тогда α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n+0 a = 0, отсюда следует, что α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n = 0 и есть ≠ 0 коэффициент.

Получили противоречие тому, что базис l₁, l₂,...,l_n- ЛНЗ, отсюда следует α_n+1 ≠ 0.

Следовательно, мы доказали, что коэффициент α_n+1 ≠ 0.

Разделим на коэффициент α_n+1.

отсюда следует, что вектор а - ЛК базисов.

Докажем единственность разложения базиса от противного.

Пусть есть два разложения вектора а по базису.

a = α₁ l₁+ α₂ l₂+... +α_n l_n

a = β ₁ l₁+ β ₂ l₂+... + β _n l_n

0 = (α₁- β₁) l₁+ (α₂- β₂) l₂+ … + (α_n- β_n) l_n, т.к. базис - ЛНЗ, то коэффициенты α₁- β₁=0, α₂- β₂=0, α_n- β_n=0, отсюда следует α₁=β₁, α₂=β₂ , α_n=β_n коэффициенты совпали. Единственность разложения доказана.