Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть гипотезы В ₁, В ₂, …, В_n образуют полную группу событий и попарно несовместны, а событие A может наступить лишь в результате осуществления одной из гипотез . Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

(2)

где p (В ₁) + p (В ₂)+…+ p (В_n) = 1.

Допустим, произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Вероятности гипотез В_i после опыта, т.е. условные вероятности: р (А/В ₁), р (А/В ₂ ), …, р (А/В_n), вычисляются по формуле Байеса:

(3)

Эта формула позволяет оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Задача 1. После вакцинирования животное в период эпидемии заболевает с вероятностью 0,01, а не вакцинированное – 0,8. Вакцинировано 70% животных. Найти вероятность того, что во время эпидемии животное заболеет.

Решение. Обозначим событие А = {животное заболеет}. Возможны следующие гипотезы: В ₁ = {животное вакцинировано}, В ₂ = {животное не вакцинировано}. Гипотезы В ₁, В ₂ несовместны и образуют полную группу событий. По условию задачи вероятности этих гипотез: р (В ₁) = 0,7, р (В ₂) = 0,3. Условная вероятность того, что животное заболеет, если оно вакцинировано р (В ₁/ А) = 0,01, а условная вероятность того, что животное заболеет, если оно не вакцинировано р (В ₂/ А) = 0,8.

Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

р (А) = р (В ₁)· р (В ₁/ А) + р (В ₂)· р (В ₂/ А) = 0,7·0,01 + 0,3·0,8 = 0,247.

Ответ: р (А) = 0,247.

Задача 2. В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Завод №1 выпускает 90% продукции отличного качества, завод №2 – 60%, а завод №3 – 80% продукции отличного качества. Извлеченная наудачу из ящика деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на заводе №2.

Решение. Обозначим событие А ={наудачу взятая из ящика деталь окажется отличного качества}. Возможны следующие гипотезы: В ₁ = {деталь изготовлена на i -м заводе}, Гипотезы В ₁, В ₂, В ₃ попарно несовместны и образуют полную группу событий. Поскольку в ящике всего 22+20+18 = 50 деталей, то по классической формуле вероятности:

Условные вероятности того, что деталь окажется отличного качества, если она изготовлена на i -м заводе () по условию задачи равны:

По формуле полной вероятности (2):

р (А) = 0,24∙0,9 + 0,4∙0,6 + 0,36∙0,8 = 0,744.

По формуле Байеса (3) найдем вероятность того, что извлеченная деталь изготовлена на заводе №2:

Ответ: р (В ₂ / А) = 0,323.